Másodörökös

igy nevezik 1. azt, aki valamely hagyatékból az általános főörökös után legtöbbet kap; 2. az utóörököst (l. o.).

Másodperc

a percnek 60-ad része, ugy az idő- mint az ívmértékben; az idő-M. jele s (secunda) v. mp., az ív-M.é."

Másodperc-inga

az az inga, melynek lengésideje 1 másodperc. (l. Inga). A M. hossza legszorosabb összefüggésben áll a földi nehézség gyorsulásával (l. Inga); utóbbi a föld különböző helyein különböző lévén, a M. hossza is helyről helyre változik. Budapesten a M. hossza Gruber mérései alapján: 99380 cm.

Másodrendü elem

l. Akkumulator.

Másodrendü felület

oly görbe felület, mely a tér minden egyenesét két valós vagy képzetes pontban, tehát a tér tetszőleges síkját másodrendü görbében (l. o.) metszi. Két pont P és P1 kapcsolt pontpár, vagy konjugált harmonikus póluspár, ha a M.-en fekvő valamely másodrendü görbére nézve kapcsolt pontpárt képez. Az összes P1 pontok, amelyek valamely adott P ponttal kapcsolt pontpárt képeznek, meghatározott S síkban feküsznek, mely a P poláris síkjának neveztetik, mig megfordítva P az S síknak pólusa P-nek poláris síkján fekszik és S minden pontjának poláris síkja keresztül megy S-nek pólusán. Ha P a M.-en fekszik, akkor a hozzá tartozó poláris sík a M.-nek érintősíkja a P pontban. Minden érintősík a M.-ből két valós vagy képzetes egyenest metsz ki, amelyeknek mindig valós metszéspontja az érintési pont. Két sík S és S1 kapcsolt síkpár, vagy konjugált harmonikus poláris síkpár, ha mindegyik a másiknak pólusát tartalmazza. Két egyenes g és g1 kapcsolt egyenespárt vagy konjugált polárisok, ha az egyiken fekvő pontok poláris síkjai keresztül mennek a másikon.

Valamely p egyenesen fekvő kapcsolt póluspárok összesége, valamint a rajta keresztül menő kapcsolt poláris síkpárok összesége egy-egy involuciót képez: a p-hez tartozó harmonikus pólusok, illetőleg harmonikus poláris síkok involucióját, amelyeknek kettős elemei a M.-nek metszéspontjai a p-vel, illetőleg a p-n keresztül menő érintősíkjai. A M. tehát általában másodosztályu. A tér tetszőleges P pontjából a M.-hez fektetett érintőkúp érintése görbéje az a másodrendü görbe, melyet P poláris síkja a M.-ből kimetsz.

Ha négy pont, A, B, C, D ugy fekszik, hogy bármely kettő közülük kapcsolt póluspár, akkor e négy pont képezte tetraéder poláris tetraédernek neveztetik, melyben minden csúcspont a szemben fekvő tetraéderlapnak pólusa és bármely két szemben fekvő tetraéder-él kapcsolt egyenes párt képez.

A végtelenben fekvő sík pólusa O - ha a véges térben fekszik - középpontja, minden a középponton keresztül menő egyenes átmérője a M.-nek A középpontból a M.-hez fektetett érintő kúp aszimtota kúpnak neveztetik, érintési görbéje a végtelenben fekszik.

Oly poláris tetraéderben, melynek egyik lapja, tehát egyszersmind három csúcspontja és három éle a végtelenben fekszik, a M. középpontja képezi a negyedik csúcspontot. A végesben fekvő és a középponton keresztül menő három tetraéder-él konjugált átmérőket képez oly értelemben, hogy mindegyik átmérőhöz a másik kettő meghatározta sík tartozik mint kapcsolt vagy konjugált átmérősík vagy diametrál sík. Ilyen hármasa a kapcsolt átmérőknek háromszorosan végtelen sok létezik, ezek közt mindig van egy és csak egy avval a tulajdonsággal, hogy mindegyike a három átmérőnek merőleges kapcsolt átmérősíkjára. Ezek az átmérők a M. főtengelyei, összekötő síkjai a M. fősíkjai és ez utóbbiaknak metszésvonalai a M.-tel annak főmetszései.

A középpont szimmetria-centruma, minden fősík ortogonális szimmetria-síkja, valamely tetszőleges átmérősík ferde szimmetria síkja a M.-nek. A ferde szimmetria iránya az illető átmérősíkkal kapcsolt átmérő iránya.

Ha a három főtengely közül mindegyik a M.-et valós pontokban metszi, akkor mind a három főmetszés ellipszis és a M. ellipszoidnak neveztetik, még pedig háromtengelyü-, forgási ellipszoid-, illetőleg gömbnek, a szerint, amint a három főtengelynek a M. határolta darabjai közül mind a három egymástól különböző, kettő illetőleg mind a három egyenlő egymással. Az ellipszoid egészen a végesben fekvő zárt felület, aszimptota kúpja képzetes, a felületen valós egyenesek feküsznek és minden pontja elliptikus pont. Valós síkmetszései csak ellipszisek lehetnek, amelyek közt mindig végtelen sok kör létezik.

Ha a három főtengely közül kettő a M.-et valós pontokban, a harmadik képzetes pontokban metszi, akkor az utóbbi tengelyen keresztül menő két fömetszés hiperbola, a reá merőleges főmetszés ellipszis. Ez esetben a M. egyágu, egyhéju, vagy hiperbolikus hiperboloidnak neveztetik. Ha az elliptikus főmetszés és evvel minden vele parallel sík metszése kör, akkor a két hiperbolikus főmetszéssel együtt minden a képzetes pontokban metsző főtengelyen keresztül fektetett sík metszése egymással kongruens, a felület egyágu forgási hiperboloid. Az egyágu hiperboloid valós aszimptota kúppal a végtelenbe terjed, minden pontján keresztül két egyenes megy, mely egész terjedelmében a felületen fekszik, ezeknek összessége két torzsereget képez, a felület tehát torzfelület és minden pontja hiperbolikus. Valós síkkal való metszésvonala mindig valós görbe, amely lehet hiperbola, parabola v. ellipszis és ez utóbbiak közt mindig végtelen sok kör.

Ha a három főtengely közül kettő a M.-et képzetes pontokban, a harmadik valós pontokban metszi, akkor az utóbbi tengelyen keresztül menő két főmetszés hiperbola, a reá merőleges főmetszés képzetes kúpszelet. Ez esetben a M. kétágu, kéthéju vagy elliptikus hiperboloidnak neveztetik. Ha valamely, a valós pontokban metsző főtengelyre merőleges sík a M.-et körben metszi, akkor a felület kétágu forgási hiperboloid. A kétágu hiperboloid valós aszimptotakúppal a végtelenbe terjed, rajta valós egyenesek nem feküsznek, a felület minden pontja elliptikus. Síkmetszései, amennyiben valósak, mindennemü másodrendü görbék lehetnek.

Ha a végtelenben fekvő sík a M.-nek érintő síkja, akkor pólusa, az érintési pont O, szintén a végtelenben fekszik. Ez esetben a M.-nek a véges térben nincsen középpontja és a felületet elliptikus, illetőleg hiperbolikus paraboloidnak nevezzük a szerint, amint a végtelenben fekvő érintősík a M.-ből két képzetes, illetőleg valós egyenest metsz ki. Mind a két paraboloidnál létezik két egymásra merőleges sík, a két fősík, melyek mindegyikére nézve a felület ortogonálisan szimmetrikus. A két fősík metszésvonalát főtengelynek nevezzük. A főtengelyre merőleges síkok metszésvonalai a hiperbolikus paraboloidnál mindig valósak és mindig hiperbolák, az elliptikus paraboloidnál, ha valósak, mindig ellipszisek. Az elliptikus parabolod forgási felület, ha főtengelyére merőleges síkmetszései körök. A hiperbolikus és a felületen valós egyenesek nem feküsznek, mig a hiperbolikus paraboloid minden pontján két egészen a felületen fekvő egyenes megy keresztül, amelyeknek összessége két torzsereget képez és igy a hiperbolikus paraboloid torzfelület. Mind a két paraboloid a végtelenbe terjed, síkmetszései közül az elliptikus paraboloidnál ki van zárva a hiperbola; a hiperbolikus paraboloidnál, melynek minden valós síkban van valós pontja, ki van zárva az ellipszis, tehát a kör is.

Az eddig felsorolt öt különböző alakja a M.-nek általános jellegü, tehát egyszersmind másodosztályu is. Speciális lesz a M., ha egy dupla ponttal bir, ez esetben a felület másodrendü kúp, mely átmegy a hengerbe, ha dupla pontja a végtelenben fekszik. A kúp és henger oly M., melynek minden pontja parabolikus. Ha a M.-nek két dupla pontja van, akkor azok összekötő vonalának minden pontja dupla pont és a felület két síkba esik szét. Mint speciális széteső M. szerepel még két parallel sík v. két összeeső sík.

Speciális másodosztályu felület a másodrendü görbe, amennyiben mint összes érintő síkjainak burkolóját tekintjük. Mint széteső másodosztályu felület szerepel két síkpont, amelynek sorozója egymástól különböző v. összeeső is lehet.

Ha valamely sugárpontnak a, b, c, d, x, ... sugarait projektive vonatkoztatjuk valamely síkpont A', B', C', D', X', ... síkjaira, akkor az aA', bB', c, C', d, D', x, X',...pontok geometriai helye M. Minden M. ily módon végtelen sokféleképen előállítható, mint reciprok másodfoku alapalakzatok képződménye.

Ha g1, g2 valamely másodrendü torzfelület egyik torzseregének két tetszőleges sugara és l1,l2,l3,l4,...a másik torzsereg sugarai, akkor g1l1, g1l2,g1l3,g1lx,...síkok pontok és g2l1, g2l2,g2l3, g2lx...{síkok pontok} képezte {síksorok pontsorok} projektivek és megfordítva: torzsorozókkal biró projektiv {síksorok pontsorok} képződménye M.

Centrális kollineáció segítségével az elliptikus M.-ek a gömbből, a hiperbolikus M.-ek az egyágu forgási hiperboloidból állíthatók elő.

Oly mozgó egyenes, mely minden helyzetében három szilárd torzegyenest metsz, valamely egyágu hiperboloidnak egyik torzseregét irja le. Ha a három szilárd egyenes parallel egy és ugyanazon síkkal, v. az egyik közülök a végtelenben fekszik, akkor a keletkező felület hiperbolikus varaboloid.

Ha két torzegyenes közül az egyik a másik körül forog, akkor a mozgó egyenes egyágu forgási hiperboloidot ir le.

Valamely másodrendü kúpszelet egyik tengelye körül forgatva, másodrendü forgási felület ir le, még pedig forgási ellipszoidot, paraboloidot, egyágu illetőleg kétágu hiperboloidot, a szerint, amint a forgó kúpszelet ellipszis, parabola, képzetes tengelye, illetőleg valós tengelye körül forgó hiperbola.

Legyen k valamely szilárd kúpszelet, G, H két a k síkján kivül fekvő (valós v. konjugált képzetes) pont, P a GH egyenes metszéspontja k síkjával, p a P poláris k-ra nézve, P1 a p-nek tetszőleges pontja, A és B a GHP1 sík két metszéspontja k-val; akkor mindig létezik oly k, kúpszelet, mely az A, B, G, H, pontokon keresztül megy és a G és H pontokban a GP1, illetőleg HP1 egyeneseket érinti; az igy defineált k1 kúpszeletek összessége M.-et alkot és megfordítva: minden M. ily módon előállítható mint egy mozgó kúpszelet geometriai helye. Ha a GH egyenes speciális helyzetü, p. a végtelenben fekszik, akkor a különféle M.-eknek különféle speciális előállításait nyerjük.

Analitikai definició. A M. a tér ama pontjainak geometriai helye, amelyeknek Descartes-féle koordinátái (r,y,z) v. általános projektiv koordinátái (x1,x2,x3,x4) valamely másodfoku egyenletnek

1) a11x2+a22y2+a33z2+a44+2a12xy+2a23yz+2a31zx+2a14x +2a24y +2a34z=0

illetőleg

2) Saikxixk= 0 (i,k = 1,2,3,4; aik =aki)

tesznek eleget. Kilenc tetszőlegesen a térben megadott pont egyértelmüen meghatározza a M.-et, tehát kilenc pont koordinátáit adottaknak tekintve, a M. egyenletében az együtthatók meghatározhatók.

A M. egyenlete egyszerübb alakot ölt, ha speciális koordináta-rendszert választunk, igy az ellipszoid egyágu hiperboloid, kétágu hiperboloid, elliptikus paraboloid illetőleg hiperbolikus paraboloid rendre a következő alakokra hozhatók:

A2x2 + B2y2 + C2z2 = 1,

A2x2 + B2y2 - C2z2 =1,

A2x2 - B2y2 + C2z2 = 1,

A2x2 + B2y2 - z2=0,

A2x2 - B2y2 - z2 =0.

A M.-nek valamely poláris tetraédere vonatkoztatott egyenlete:

a1x12+ a2x22 +a3x32+ a4x42= 0.

Ha a koordináta tetraéder csúcspontjai a M.-en feküsznek, akkor

a12x1x2+ a23x2x3+ a31x3x1+ a14x1x4+ a24x2x4+ a34x3x4=0

a M. egyenletének alakja, mig minden másodrendü torzfelület egyenlete az

x1x2+x3x4=0

alakra hozható.

Másodrendü görbe

valamely másodrendü felület tetszőleges síkmetszése, más szóval oly síkgörbe, mely síkjának minden egyenesét két valós vagy képzetes pontban metszi. Minden M. előállítható mint két ugyanabban a síkban fekvő projektiv sugársor képződménye. Két projektiv sugársorban abcx... a'b'c'x'... ugyanis a megfelelő sugárpárok aa', bb', cc', xx'... metszéspontjai M.-n feküsznek, mely a sugársorok sorozóin is keresztülmegy. A M. öt pontja által teljesen meg van határozva, ugy hogy szabadon választott öt pontja mellett valamely hatodik pontja már bizonyos feltételnek van alávetve, melynek egyik fogalmazása a Pascal-féle tételt (l. o.) adja. Ha P. a M. síkjának A és B a M.-nek két tetszőleges pontja és a PA és PB egyenesek a M.-t még a C illetőleg D pontokban metszik, akkor az A,B,C,D pontok képezte teljes négyszög egyik diagonális pontja maga a P pont, a másik kettő Q és R mindig ugyanazon a p egyenesen fekszik, bárhogyan válasszuk is szilárd P mellett az A és B pontokat. A p egyenes a P pont polárisa, mig a P a p-nek pólusa a M.-re nézve.

A PQR háromszög minden csúcspontja pólusa a másik kettő összekötő vonalának. Ily tulajdonságu három pont poláris háromszögnek, vagy kapcsolt pólusok hármasának (Tripel harmonischer Pole) neveztetik. Két pont, mely közül az egyik a másiknak polárisán fekszik, konjugált vagy kapcsolt harmonikus póluspárt, két egyenes, mely közül az egyik a másiknak pólusán megy keresztül, kapcsolt harmonikus polárispárt képez. Minden poláris háromszögben két-két csúcspont kapcsolt harmonikus póluspár és két-két oldal kapcsolt harmonikus polárispár. Valamely P pont polárisa a P kapcsolt pólusainak geometriai helye, valamely p egyenes pólusa a p kapcsolt polárisainak burkolója. A p egyenesen fekvő kapcsolt póluspárok összesége, valamint a P ponton keresztülmenő kapcsolt polárisok összessége egy-egy involuciót képez, mely a p-hez tartozó harmonikus pólusok, illetőleg a P-hez tartozó harmonikus polárisok involuciójának neveztetik. E két involució perspektiv helyzetü, ha P a p-nek pólusa.

A M.-n ek metszéspontjai valamely p egyenessel dupla elemei a p-hez tartozó kapcsolt póluspárok involuciójának; ez utóbbi tehát hiperbolikus, elliptikus illetőleg parabolikus, a szerint, a mint p a M.-t két egymástól különböző valós, két képzetes, illetőleg két összeeső pontban metszi, tehát érinti. A M.-nek érintői valamely P pontból dupla elemei a P-hez tartozó kapcsolt poláris párok involuciójának, ez utóbbi tehát hiperbolikus, elliptikus illetőleg parabolikus a szerint, amint P-ből a M.-hez két egymástól különböző valós-, két képzetes-, illetőleg két összeeső érintő vonható, az utolsó esetben tehát P a M.-n fekszik. Ha P a p-nek pólusa, akkor a p metszéspontjai a M.-vel összeesnek a P-ből a M.-hez vont érintők érintési pontjaival.

A végtelenben fekvő egyenesnek pólusa a 0a M.-nek középpontja, az 0-hoz tartozó kapcsolt polárisok involuciója az átmérők involuciója, ennek tetszőleges párja kapcsolt átmérői, kettős elemei aszimptotái, mindig valós derékszögü párja tengelyei a M.-nek. A szerint amint a végtelenben fekvő egyeneshez tartozó kapcsolt pólusok involuciója hiperbolikus, elliptikus, illetőleg parabolikus, a M.-t hiperbolának, ellipszisnek, illetőleg parabolának nevezzük. Ha az átmérők involuciója szimmetrikus, tehát kettős elemei egymásra merőlegesek, illetőleg derékszögü, a M. egyenoldalu hiperbola illetőleg kör.

Ha valamely M. síkján kivül fekvő pontot a görbe minden pontjával összekötjük, másodrendü kúpfelületet nyerünk; minden M. tehát egyszersmind kúpszelet (l. o.).

Minden általános M., amennyiben mint érintőinek burkolóját tekintjük, egyszersmind másodosztályu görbe is.

A M. degenerálhat, elfajulhat és akkor két egymást metsző (valós vagy képzetes), vagy két összeeső egyenesből áll. Ez megtörténik mindannyiszor, amikor a M.-t származtató két projektiv sugársor perspektiv helyzetü. Az elfajuló M. nullad-osztályu.

A másodosztályu görbe is elfajulhat és akkor két egymástól különböző (valós vagy képzetes) v. két összeeső pontból áll, jobban mondva közös síkban fekvő két különböző vagy összeeső sugársorból. Az elfajuló másodosztályu görbe nulladrendü.

Analitikai definició. M. a sík ama pontjainak geometriai helye, amelyeknek Descartes-féle koordinátái (x, y) v. általános projektiv koordinátái (x1, x2, x3) valamely másodfoku egyenletnek

1) a11x2+ 2a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a33 =0

illetőleg

2) a11x12+a22x22+a33x32+2a12x1x2+2a23x2x3+2a31x3x1=0

tesznek eleget.

A M. egyenlete egyszerübb alakot ölt, ha speciális helyzetü koordináta-rendszert választunk, igy az ellipszisnek illetőleg hiperbolának a fő tengelyekre vonatkoztatott egyenlete Descartes-féle koordinátákban

x2/a2 + y2/b2 = 1 illet. x2/a2 - y2/b2 = 1

a parabolának a fő tengelyére és csúcsérintőjére vonatkoztatott egyenlete

y2 = 2px.

A M.-nek valamely poláris háromszögére vonatkoztatott egyenlete.

a1x12+a2x22+a3x32=0;

ha a koordináta háromszög csúcspontjai a M.-en feküsznek, akkor

a1x2x3+a2x3x1+a3x1x2=0

a M. egyenletnek alapja.

A M. elfajul, ha egyenletének együtthatói az

[ÁBRA]

egyenletet kielégítik.

Másodszülöttség

(lat. secundogenitura), 1. az a vagyon, mely főnemesi családoknál az ifjabbik ág ellátására szolgál ellenértékül azért, hogy a tulajdonképeni családi vagyon - p. hitbizomány - az elsőszülöttet s annak utódait (primogenitura) megilleti; 2. tartomány, amelyben az uralkodás az uralkodóház másodszülött hercegét megilleti. Igy Toscana 1859-ig uralkodóházunknak M.-e volt.

Másodtengernagy

a. m. ellentengernagy (l. o.).

Másodvirágzás

l. Kétszernyiló.

Másolat

(lat. copia), okirat, mely más okiratnak tartalmát tükrözi vissza. Megkülönböztetendő egyszerü és hitelesített M., mely utóbbin az illetékes hatóság v. hiteles személy bizonyítja, hogy a M. az eredetivel megegyez. A M. bizonyító erejét az eljárási törvények határozzák meg. Az 1868. LIC. t.-c. szerint az okiratnak M.-ban közlése elegendő, de csak akkor, ha az ellenfél az eredetinek megtekintését nem kivánja. A bizonyító fél az okirat eredetijét a biróságnál előre is leteheti; ha ezt nem tette, az eredetit az ellenféllel biróságon kivül közölheti; a közlés megtagadása esetében az ellenfél kérelmére a biróság az eredetinek fölmutatására határnapot tűz ki; az ekkor föl nem mutatott okirat az itélethozatalnál figyelembe nem vehető. A sommás eljárást szabályozó 1893. XVIII. t.-c. szerint az okirat, amelyet a fél bizonyítani akar, az ellenfél kivánatára v. a biróság rendeletére, a tárgyaláson eredetiben fölmutatandó.


Kezdőlap

˙