Wisan, Galileo's 160. „A bizonyítás során – folytatja Wisan – Galilei nagyon érdekes analízist dolgoz ki. Tekint két egyenlő momentojú súlyt, A-ban és B-ben kiegyensúlyozva. Azután feltételezi, hogy BC-t a BF egyenessel jelölt helyzetbe forgatjuk, az eredetileg C-ben volt súly most F-ben van. A súly momentoja F-ben akkora, mintha K-ból lenne felfüggesztve, és a súly momentoja F-ben úgy aránylik a súly momentojához A-ban, amint KB aránylik BA-hoz. Ha BC tovább forog BL-be, a súly momentoja tovább csökken. Galilei ekkor megjegyzi:

 

 

'Látható, hogy a BC egyenes végére helyezett súlynak, lefelé hajolva a CFLJ köríven, hogyan csökken momentuma és impetusa a leszállásban, amint egyre inkább tartatik a BF és BL egyenesek által. De úgy tekinteni ezt a súlyos testet, mint leszállót és mint amit elébb kevésbé a BF majd erősebben tart a BL sugár és mint ami a CFL köríven kényszerül haladni, ugyanannyi, mint elképzelni a CFLJ kört egy azonos görbületű gömbfelületként, amely a mozgó test alá van helyezve úgy, hogy ez a test általa megtartva kényszerül rajta leszállni. Mindkét esetben ugyanis azonos pályát ír le a mozgó test, és nem számít, hogy a B középpontból van-e felfüggesztve a kör sugara által fenntartottan, vagy pedig eltávolíttatik ez a támaszték és a CFLJ körív támasztja alá, amelyen halad … ha a mozgó test az F pontban helyezkedik el, akkor súlyosságát részben az aláhelyezett körpálya viseli, és … mozgásának első pontjában olyan, mintha egy síkon lenne, amely a GFH érintő szerint lejt, mivel a körkerület hajlása az F pontban nem különbözik az FG érintő hajlásától, az észlelhetetlen érintési szögtől eltekintve.' (EN II, pp. 181–83.)

Mindez természetesen csupán explicitté teszi a De motu antiquiora bizonyításában meghúzódó feltételezéseket. Galilei most nyilvánvalóan egy testre gondol, amely folytonosan mozog egy kör alsó negyedén, mint a középkori Liber de ponderibusban; ám Galilei felteszi, hogy a mozgás minden pontban ugyanaz, mintha a test a kört azon pontban érintő lejtőn lenne… Mint elébb, Galilei feltételezi, hogy az erő, amellyel a test leszállani tendál, pontosan egyenlő azzal, amivel az emelésnek ellenáll. Most azonban hangsúlyozza, hogy a mérleg karja tartja. Lehet, hogy azért, amint Drake vélte, mivel Galilei az ingára gondolt. A használt nyelv azonban Guidobaldóra és Benedettire utal”. (161). Amint különben már Caverni is hangsúlyozta. Wisan ellenben kiemeli, hogy Galilei mechanikája, kivált a lejtő és az emelő tárgyalása, „számos régebbi munka leghasznosabb elemeiből készült szintézisnek látszik. Kivált a test mozgásának a tárgyalása a kör alsó negyede mentén mutatja, hogyan kombinálta Guidobaldo statikai analízisét a Jordanus-tradíció dinamikus analízisével, minden pontban azonosítva a mozgást a kört a pontban érintő lejtőn történő mozgással.” Paolo Galluzzi ellenben, ugyanezen bizonyítást elemezve, úgy véli, hogy Galilei Le Mecanicheje végig a statika birodalmában marad, és nem annyira azzal fáradozik, hogy elkülönítse a mozgás momentoját az emelőétől, mint inkább azzal, hogy az utóbbit az előbbivel, azaz egyenletes sebességgel megtett utak arányával mérje. „Gyakorlatilag lehetetlen tagadni, hogy ezen jelenség analizálásában Galilei nem számolt azzal, hogy a súly esésében egy körnegyed mentén a mozgás nem tekinthető egyenletesnek. És rögtön felmerül a kérdés, hogyan indokolja a pisai tudós azt a tényt, hogy a sebesség folytonos növelése párhuzamosan halad a momento csökkenésével. Meg lett volna győződve, már akkor, hogy a sebesség megőrződik? Valójában csak ebben az esetben produkálhatott volna a momento folyamatos csökkenése sebességnövekedést. Természetes kérdések ezek, melyekre felelni csak Galilei gondolkozásának egymást követő fejlődési fokainak az ismeretében lehet. Tudjuk, Galilei Guidobaldónak 1602. november 29-én írt levelében kijelenti, hogy a mozgás egy körnegyed minden húrján azonos időt vesz igénybe. És ismeretes, hogy Galilei mozgásra vonatkozó töprengései az ingamozgás megfigyeléséből eredtek. Hogyan vonhatná ki magát az ember az impressziótól, hogy a körnegyed mentén történő mozgást Galilei az ingamozgással párosította?” (Galluzzi, Momento… 216.)

Az „impresszióhoz” Stillman Drake csakugyan meg is találta az ügyeletes kéziratot és az értelmezéshez szükséges kisegítő kéziratokat. A főszereplőt, a 189v fóliánst közli fakszimilében és átírásban. Mindenekelőtt azonban ismerteti és más kéziratokról származó példákkal illusztrálja Galilei időmérési módszerét. „A Két új tudományban leírta legegyszerűbb formáját, amelyben egy nagy edényből az alján vékonyka csövön keresztül kifolyó vizet gyűjtött össze minden mozgás alatt, megmérte érzékeny mérlegen, és a súlyokat tekintette az idők mértékéül.” Azután keres különböző hosszúságú ingák lengésidejének a mérésére vonatkozó feljegyzéseket, különböző fóliánsokon. „Galilei az ingalengések idejét ingáinak csupán a függőlegesig jutásával mérte, nem a teljes periódussal, ahogyan ma ezt definiáljuk egy teljes lengéssel és visszatéréssel. Ő azért használta a negyedperiódust, mivel ez volt az egyetlen lengés, amit pontosan időzíteni tudott az elengedés pillanatától az ütközés zajáig egy tömbbel, amelynek a helyét előre rögzítette az inga felfüggesztési pontjában alkalmazott függőónnal.” (Drake, Pioneer Scientist… 15.) A mérések számértékeiből mellesleg az is világossá válik Drake-nek, hogy Galilei tudta, hogy ugyanazon inga erősen különböző nagyságú lengései nem egyidejűek, a közhiedelemmel és saját publikált szövegeivel ellentétben. „Az ingamérésekből Galileinek most kezében volt egy olyasféle tábla, mint amit alább állítottam össze; bár kétlem, hogy Galilei táblázatírással bajlódott volna, az enyém megmutatja azt az utat, amelyen eljutott felfedezéseihez, egyszerűen csak alkalmazva az arányok és az arányosságok elméletét, ahogyan az Euklidész Elemeinek V. könyvében található. Táblázatom addig terjed, míg megmutatja egy igen fontos szám forrását, amely megtalálható Galilei két megmaradt munkalapján, melyekből az egyiket akkor írta, amikor először ismerte fel a szabadesés törvényének időnégyzetes alakját a vele matematikailag egyenértékű középarányos formából.

Az első oszlop egymásutáni kétszerezésekkel keletkezett; a második váltakozó kétszerezésekkel. Egy kis diszkrepanciától eltekintve a második időmérésben, külön-külön így mindkét oszlop számai folytatódó arányosságban állanak. Galilei új időegysége, a tempo, akkor jött létre, amikor, mondjuk így, horizontálisan vonatkoztatta egymásra a két oszlop adatait. Eredeti időmértéke egy bizonyos eszközből kifolyt víz grainjeiben teljesen önkényes volt, így szabadon megváltoztathatta tetszőleges arányban. Minden egyes időt a hozzá tartozó inga hosszának és 2-nek a középarányosaként tekintve, a két oszlop soronként vonatkoztathatóvá válik. Majdnem pontosan ugyanezen számokat kapjuk akkor is, ha minden egyes grainekben megadott időt elosztunk 16-tal, így 16 grain súlyú kifolyt víz lett 1 tempo – az új időegység, ami ezen vizsgálatok eredményéből adoptáltatott.” (17–18.)

 

Az inga hossza puntókban Idő a függőlegesig, a kifolyt víz súlyában (grains)
   870            668 és 1/2
1 740  942
3 4801 337
6 9601 884
13 9202 674
27 8403 768

 

Azaz – az új időegységre térve át – a Drake-táblázat utolsó sorában például azt kapjuk, hogy 3 768 : 16 = 235,5 és 27 840 x 2 = 235,96; tehát a megduplázott ingahosszúságok sorozatában a tempoban kifejezett lengésidők az ingahossz és 2 mértani középarányosával egyenlők. Nem mindenütt ilyen jó az egyezés, ám Drake a maga fölényes kéziratismeretében még az eltéréseket is hasznosítani tudja. „Mivel a kifolyt víz grainekben megadott súlyával kifejezett idők elosztása 16-tal nem pontosan állítja elő a két oszlop közötti középarányossági vonatkozást, Galilei igazítást hajtott végre, melynek eredményeként a fenti 27 840-et 27 834-re változtatta. Ezt a munkát olyan jegyzetlapon végezte, amelynek csak egy része maradt meg. Az üres oldalra 1609-ben más témára vonatkozó feljegyzést írt, levágta, és a 90-es fóliánsra ragasztotta. Kérésemre ezt leválasztották, és a rejtett oldalon láttam a 27 834-es számot, kétszer, elég szóval ahhoz, hogy „átmérő”-ként legyen azonosítható. Galilei diagramja és számításai eldobattak, az oldal levágott részével együtt, de még azelőtt befejeződtek, mielőtt Galilei felfedezte a szabadesés törvényét, mivel 27 834 kulcsfontosságú szerepet játszik a 189v fóliáns számításaiban, amely Galilei kezibe adta ennek a törvénynek a felfedezését.”

A továbbiakban Drake azt részletezi, hogy miként adta ez a szám a felfedezés kulcsát Galilei kezibe. Elmondja, hogyan „általánosította” a szukcesszíve megkétszerezett ingahosszúságokra érvényes lengésidőtörvényt, kiszámítva 118 és 167 – azaz a 6960 és 13 920 punto hosszú ingák tempoban kifejezett lengésidejét a vertikálisig – középarányosát, ami 140 tempo. „Eme két hosszúság középarányosa 9843, azért ha korlátozott ingatörvénye tökéletesen általános lenne, akkor egy 9843 punto hosszúságú inga a vertikálisig 140 tempo alatt lengene.” Mármost a 154r fóliánson írva található: „filo br. 16”, azaz „a zsinór 16 braccio hosszú”. Galilei még Padovában leírt két sorából Drake úgy becsülte, hogy egy braccio körülbelül 620 punto. „Bracciokként 615 puntoval az inga hossza 9840 punto lenne, azaz kb. 30 láb. Egy ilyen inga függhetett a Padovai Egyetem udvarának egyik ablakából, széltől védve és időzítve. Számításaim szerint Padovában 141 tempo alatt érhette el a vertikálist kis íven mozogva. Így Galilei tökéletesen megbizonyosodhatott középarányos formában kifejezett ingatörvényének teljes általánosságáról, amely matematikailag ugyanaz, mint a mi törvényünk, ami szerint az ingák periódusai úgy aránylanak, mint hosszúságuk négyzetgyökei.” (18–21.)

Hátra volt azonban még az ingamozgás összekapcsolása a szabadeséssel, és ez volt a 189v tulajdonképpeni feladata és teljesítménye. Drake számításai és kísérleti rekonstrukciói végén Galilei eljutott két idő arányához, az egyik az inga lengésideje kis íven a vertikálisig, a másik a szabadesés ideje az inga hosszúságával azonos távolságon. „Ez volt az az arány, ami lehetővé tette Galileinek a szabadesés törvényének felfedezését középarányos alakban, ami matematikailag ekvivalens a mi időnégyzetes törvényünkkel a nyugalomtól mért távolságokra.” (24.) Drake rekonstruálja a felfedezés útját, ez azonban olyan nehéz, hogy itt már nem követhető. De tán nem is szükséges, legalábbis ha David K. Hillre hallgatunk, aki szerint a 189v-t egyáltalában megérteni is csak úgy lehet, ha feltételezzük, hogy Galilei az esési törvény ismeretében fogott hozzá a fóliánson lejegyzésre került kísérleti munkához. Drake – írja Hill – „amellett kardoskodik, hogy 189v az a jegyzetlap, amelyen Galilei munkálkodott, amikor felfedezte az időnégyzetes törvényt. Csakhogy ha valami nyilvánvaló 189v-vel kapcsolatban, az az, hogy előfeltételként szükséges hozzá ennek a törvénynek az ismerete. Drake elemzésének túl sok a speciális gyöngéje ahhoz, hogy egyenként felsorolható lenne. Általános hibája az a bizantinus bonyolultság, amit bárki meglepőnek fog találni, akinek valamennyire is ismerős Galilei analitikus és empirikus eljárásainak célzott egyszerűsége.” (David K. Hill. Pendulums and Planes: What Galileo Didn't Publish. Nuncius, 1994, vol. 9, 499–512, 5. jegyzet) Drake-nek, véli Hill, csupán abban az egyben van igaza, hogy 189v a Két új tudományban leírt módszerrel nyert időméréseket rögzít, „másban semmiben”.

Hill ítélete tán kicsit szigorú; most, hogy a nagy tudós már nem él, le se írná talán. Ami pedig a részleteket illeti, Hill rekonstrukciója sem mentes némi „bizantinus bonyolultságtól”. De a rekonstrukció alapelve megejtően egyszerű. „A 189v-n Galilei – érvel Hill – kísérlettel megméri a valódi időt, amelyre egy bizonyos ingának szüksége van, hogy (viszonylag kicsiny íven) a vertikálisig lengjen. Azután, az ingát egy kör sugarának tekintve, kísérletileg meghatározza az esés valódi idejét ennek a körnek az átmérője mentén. Az utóbbi eredmény időméréseket és egyszerű számításokat igényel.” A húrtörvény szerint a vertikális kör legalsó pontjába futó húrokon azonos a leszállás ideje, így az esési idő az átmérő mentén megadja annak a húrnak az idejét, amelyet a vertikálisig számított ingalengés kifeszít. Így Galilei megkapja a köríven történő mozgás idejének és a húrján történő mozgás idejének az arányát. Mégpedig meglepő pontossággal, amiből Galilei (illetve Hill) számos fontos következményt vezet le, az ingamozgásra csakúgy, mint a lejtőn való mozgásra; egyebek közt a kicsi és a nagy lengések nem-isochronicitását, és a lejtőn gördülés fékező hatását, pontos kvantitatív dimenziókban.

 

A 189v kísérlet vázlata

 

A kis íven vertikálisig való lengés idejének a mérését a 189v bal felső felében látható számok rögzítik. A számsor összege – 1988 – nyolc teljes lengés vízsúlyban mért idejét jelenti. „Nem számít, hogy valamely szokásos súlyegységet használt-e, vagy maga alakított ki egyet”. A nyolc teljes lengés idejét elosztja 16-tal és felírja: „az ab félátmérő legyen 4000, akkor a bd ív 124 tempus alatt tétetik meg”. Azután észreveszi, hogy 16-tal osztva egy féllengés idejét számolta ki, neki pedig egy negyedé kell. Áthúzza hát a 124-et és föléírja: 62. Észreveszi azt is, hogy a feladat második részéhez, a bd húron történő leszállás idejének a meghatározásához nem a sugárra – ami az ingalengés középpontja –, hanem az átmérőre van szüksége, ezért áthúzza a „félátmérő”-ben a „fél”-t. Azután aláírja: „A merőleges, melynek hosszúsága 48 143, 280 temp. alatt tevődik meg.” Ez az eredmény is experimentális, egy 13 400 punto hosszú és kb. 16°-os szög alatt hajló lejtővel nyerte. A lejtőt egy kör húrjának tekintve, melynek alsó pontjában a vízszintesre emelt merőlegesen helyezkedik el a kör középpontja, könnyen kiszámítható a vertikális kör sugara. „Húrtáblázatai megmondták neki, hogy ha a sugár 100 000 lenne, az ezt a szöget (valamivel több, mint 16°-ot) kifeszítő félhúr hossza 27 834 lenne. A húr 13 400, így a fele 6700. A kérdés az, hogy milyen szám aránylik úgy 6700-hoz, mint 100 000 aránylik 27 834-hez. Megszorozza 100 000-et 6 700-zal és elosztja 27 834-gyel, s kap 24 071-et a sugárra. Az átmérő ezért 48 134.” A húrtörvény szerint ezen átmérő mentén is 280 az esés ideje. Ebből azután az időnégyzetes törvény középarányos formájával könnyű kiszámítani, hogy 4000 puntos függőleges körátmérő mentén az esés ideje 80 egész 2/3. És ugyanennyi a 2000 puntos inga bármely vertikálisig futó lengésének körívét kifeszítő húr mentén. „Galilei így, kísérlet és elmélet érdekes párosításával megállapította, hogy egy adott vertikális kör legalsó pontjáig való leszállásban a (relatíve kicsiny) ívek ideje úgy aránylik a húrok idejéhez, mint 62 aránylik 80 egész 2/3-hoz. És ez roppant érdekes eredmény, több szempontból.”

Ezeknek a szempontoknak és eredményeknek a részletezése Hill cikkének legérdekesebb része, mert demonstrálja, hogy Galilei sokkal jobb kísérleti fizikus volt, mint eddig bárki – még akár Settle vagy Drake is – hitte. Ettől azonban itt már eltekinthetünk, mert jelen szempontunkból azt volt a legfontosabb bemutatni, hogy nemcsak a szavak, de még ugyanazon számok is mennyire különféleképpen értelmezhetők. És következésképpen nagyon különbözően értelmezhetők kísérletei. Nem az a kérdés – vélte Michael Serge –, hogy kísérletezette-e Galilei, sőt még nem is az, hogy hogyan; hanem az, hogy „milyen szerepet szánt kísérleteinek, mit várt tőlük, hogyan és milyen mértékben befolyásolták várakozásai viselkedését, és mennyire feletek meg a tények várakozásainak” (Michael Segre. The role of experiment in Galileo's physics. Archive for History of Exact Sciences, 1980, vol. 23, 227–252). De Galilei „várakozásainak” vagy az értelmező történész várakozásainak? Vagy az értelmezők értelmezőiének? És végül nem efféle várakozásokból (expectations) él a legtöbb metodológia- és módszertörténeti kutatás? „De mi az igazság…”