EN X, 115. „Örvendenék – folytatja Galilei –, ha Főtisztelendőséged töprengene ezen egy kicsit, és közölné velem a véleményét. És ha elfogadjuk ezt az elvet, nem csupán bizonyíthatjuk, mint mondottam, a többi következményt, hanem kézzelfogható lesz annak a megmutatása is, hogy a természetesen eső test és az erőszakkal feldobott test a sebesség ugyanazon arányain haladnak keresztül. Mert ha a lövedék a d végpontból az a végpontba dobatik fel, nyilvánvaló, hogy a d pontban akkora impetus-fokkal rendelkezik, amely épp az a végpontig képes lökni, és nem tovább; és amikor ugyanez a projectil c-ben van, világos, hogy akkora impetus-fok járul hozzá, amely ugyanazon a pontig képes lökni; és hasonlóképpen az impetus-fok b-ben épp elegendő, hogy a-ba lökje: amiből nyilvánvaló, hogy az impetus a d,c,b pontokban a da, ca, ba vonalszakaszok arányai szerint csökken; következésképpen ha ugyanezek szerint halad a természetes esésben a sebességfokok szerzése, akkor igaz, amit mondottam és hittem ezidáig. Ami pedig a nyílvesszővel szerzett tapasztalatot illeti, azt hiszem, hogy a leesésben ugyanakkora erőre tesz szert, mint amekkorával kilöketett, amint más példákkal együtt beszélünk majd róla személyesen, mivel oda kell mennem Mindenszentek előtt. Addig is kérem, gondolkozzon egy kicsit az említett principiumon.” EN X, 115–116.

Ugyanezt a principiumot tartalmazza egy kézirat, amit Favaro is közölt, EN VIII, 373–374, és nagyobb részét lefordította Drake, mert nagy jelentőséget tulajdonított neki, Drake, At work… 102–103. Ezen a kéziraton Galilei megadja az érvelést, amivel a téves Sarpi-principiumból levezeti a helyes időnégyzetes törvényt.

„Húzzuk meg – érvel Galilei – ak vonalat tetszőleges szög alatt af-hez, és a c,d,e,f pontokban húzzuk meg a cg, dh, ei, fk párhuzamosokat: mivel az fk, ei, dh, cg vonalak úgy aránylanak egymáshoz, mint fa, ea, da, ca, azért a sebességek, (velocità) az f, e, d, c pontokban úgy aránylanak, mint az fk, ei, dh, cg vonalak.

 

 

Tehát folyamatosan növekednek a sebességfokok az af pontjaiban az ezen pontokban húzott párhuzamosok növekedése szerint. Továbbá, mivel a sebesség (velocità) amivel a mozgó a-ból d-be érkezett, az összes sebességfokokból tevődik össze (è composta) amelyekkel az ad vonal pontjaiban rendelkezik, és a sebesség, amellyel az ac vonalat megtette, mindazon sebességfokokból tevődik össze, amelyekkel az ac vonal minden egyes pontjában bír, azért a sebesség (velocità) mellyel a mozgó az ad vonalat megtette, úgy aránylik a sebességhez (velocità) amellyel az ac vonalat megtette, mint ahogyan az ad vonal minden pontjában az ah egyenesig húzott párhuzamosok összessége (tutte le linee) aránylik az ac vonal minden pontjában az ag vonalig húzott párhuzamosok összességéhez; és ez az arány ugyanaz, mint az adh háromszög aránya az acg háromszöghöz, azaz az ad négyzet aránya az ac négyzethez. Következésképpen a sebességnek, amellyel az ad vonal megtétetik, az aránya a sebességhez, amellyel az ac vonal megtétetik, kétszeres arány (négyzet) a da-nak a ca-hoz való arányában. És mivel sebességnek a sebességhez ellentétes az aránya, mint időnek az időhöz (mivel ugyanaz növelni a sebességet, mint csökkenteni az időt), azért a mozgás idejének az aránya ad-n a mozgás idejéhez ac-n subduplikált aránynak felel meg (subduplicata proporzione, „felesarány”: négyzetgyök) abban az arányban, amiben az ad távolság áll az ac távolsághoz. A mozgás kezdetétől számított távolságok tehát úgy aránylanak, mint az idők négyzetei, és dividendo [Euklidész V. könyv 15. def.] az egyenlő időközökben megtett utak úgy aránylanak egymáshoz, mint a páratlan számok ab unitate: ami megfelel annak, amit mindigis mondtam és kísérletekben megfigyeltem; és így minden igazság megfelel egymásnak.” EN VIII, 373–374. Drake, At work 102–103.

v(ad)-vel jelölve a sebességet, mellyel az ad vonal megtétetik és t(ad)-vel a mozgás idejét a da-n felírható:

v(ad) : v(ac) = da2 : ca2 = ad2 : ac2

t(ad) : t(ac) = γad : γac

azaz idő út

Téves feltevésből két érvelési hibával jutott helyes végeredményre, összegezi a szakmai közvéleményt a Carugo–Geymonat-féle Discorsi kiadás. Két súlyos félreértést követett el: „1/ mindenekelőtt, abból az állításból, hogy »a sebesség, amivel a mozgó a-ból d-be érkezett az összes sebességfokokból tevődik össze, amelyekkel az ad vonal pontjaiban rendelkezik«, az következik, hogy ezt a sebességet önkényesen az ADH háromszög által mértnek lehet tekinteni; és ez megengedi azt mondani, hogy a két középsebesség aránya, amelyekkel a mozgó egymásután megteszi az AC, AD távolságokat, egyenlő a két háromszög, ACG és ADH területének arányával; 2/ továbbá arra az elvre hivatkozik, hogy »sebességnek a sebességhez ellentétes az aránya, mint időnek az időhöz«, pedig ez az elv csupán abban az esetben érvényes, amikor a két vonatkozási pont, azaz az út, azonos, és nem alkalmazható olyan esetekre, amikor, mint itt, a két befutott távolság, AC és AD különböző. Más szóval elkövette azt a hibát, hogy változó mozgásra alkalmazott valamit, ami csupán egyenletes mozgásra érvényes, amikoris az utak úgy aránylanak, mint az idők.” Carugo–Geymonat, Discorsi… 769–770, 203. jegyz. Már Duhem és Koyré elemezte ezeket a hibákat, figyelmeztet rá a jegyzet; felhívták rá a figyelmet, hogy Galileitől függetlenül hasonló hibát követett el Descartes, és úgy gondolták, hogy a 14. századi oxfordi és párizsi magiszterek uniformisan difformis intenzitásváltozásokat tárgyaló fejtegetéseinek és diagramjainak a téves alkalmazásából fakad. És természetesen, mint minden kommentár, a Carugo–Geymonat apparatúrája is bemutatja a következő jegyzetben a 'sebesség arányos az úttal' feltevésből következő helyes út-idő törvényt: „ds/dt = as, ami, integrálva, ezt adja: s=Aeat, ahol a egy kísérleti állandó és A integrációs állandó. De tudjuk, hogy t = 0-ra s = 0; következésképpen A-nak is 0-nak kell lennie; ezért minden esetben s = 0. Ez nyilvánvalóan téves következmény, nem kevésbé annál, mint ahogyan Galilei járt el.” Gondosabban jár el Simonyi professzor, aki a differenciálegyenlet integrálása után részletezi, „hogy ez a mozgás milyen körülmények között jöhet létre”. (Simonyi Károly. A fizika kultúrtörténete. Budapest, 1978, Gondolat, 171.) Az is az ő nagy könyvéből látható legszebben, hogy milyen jól és zökkenőmentesen átírhatók Galilei tételei és levezetései az infinitézimális számítás segítségével a modern fizika nyelvére. Az infinitézimális számítás volt az a nyelv, amelyen az újkori fizika törvényei íródtak. Ám Galilei, aki lelkesen és meggyőződéssel hirdette, hogy a Természet törvényei matematikai nyelven íródtak, az infinitézimális számítást még nem ismerte. Az ő matematikai nyelvének a „betűi” nem differenciálok és határértékek voltak, hanem háromszögek, négyszögek, arányok. Ezekkel kellett elmondania olyan fizikai felismeréseket, amelyek kifejezése Newton és Leibniz új kalkulusának a nyelvén se volt éppen könnyű, és többé-kevésbé közérthető közvetítéséhez még ma is egy Simonyi professzor pedagógiai találékonysága és finom történeti érzéke szükséges. Ez a nehézség és gond húzódik meg az 1604-es Sarpi-levél és a hozzá tartozó kéziratos töredék tévedései megett. Galilei a maga korának hagyományos matematikájával veselkedett neki olyan fizikai feladatoknak, amelyeknek a kifejezésére alkalmas matematikát majd csak nagy utódai teremtették meg. A Sarpi-levél tévedése nem annyira a „Galilei elődei”, mint inkább a „Galilei utódai” témakörből lenne tán inkább értékelendő. Vagy legalábbis abból a szempontból, hogy az infinitézimális nyelv miféle elemeit vehette illetve vette át Galilei középkori oxfordi és párizsi magiszterektől, illetőleg tanításaik saját korabeli képviselőitől. Ezt a kérdést járja körül, elsősorban épp az 1604-es Sarpi-levél tévedései kapcsán, Edith Dudley Sylla az oxfordi Calculatores analitikus nyelveinek és a gyorsuló mozgás középsebesség-tételének az összefüggéseit elemző tanulmányában (Galileo and the Oxford Calculatores: Analytical Languages and the Mean–Speed Theorem for Accelerated Motion. In: Reinterpreting Galileo. Edited by William A. Wallace. Washington, D.C. 1986, The Catholic University of America Press, 53–103).

Edith D. Sylla 1970-ben védte meg „The Oxford Calculators and the Mathematics of Motion, 1320–1350: Physics and Measurement by Latitudes” címmel filozófiai doktori értekezését a Harvard Egyetemen, s hamarosan a kérdéskör elsőrendű szaktekintélyévé növekedett. Az egész „Galilei elődök” problematika szempontjából meggondolandó hát – a Dialogoból és a Matematikai érvelésekből vett idézetekkel dokumentált – elemzése a 14. századi analitikus nyelvek és Galilei szóhasználatának a kapcsolatáról. „Galilei – összegezi elemzéseit Sylla – tudott valamicskét ezekről az analitikus nyelvekről, de általában elvetette őket. Ha meglett volna rá az alkalma vagy hajlandósága, hogy részletesebben megtanulja őket, segítséget meríthetett volna belőlük némely fontos viszonylatban; ám hasznára vagy kárára, ő függetlenebb intellektuális utat választott” (68). Ha volt közös a Calculatores és az ő észjárásában, az leginkább még a részletes és numerikus számítások kedvelése lehetett, amint az a Dialogoból látható, ahol Galilei közvetve a Calculatores természetfilozófiája mellé áll, „amennyiben folyton ócsároltatja Simplicioval a részletes számítások használatát, Salviatival és Sagredoval szemben. Simplicio, ellentétben a Calculatores-szel és Galileivel, nem hisz a feladatok részletes matematikai megoldásainak. A „szubtilis” szó, amelyet mások oly gyakran használtak megrovólag a Calculatores munkájával kapcsolatban, általában pozitív konnotációval bír, amikor Salviati vagy Sagredo használja, és csak akkor negatívval, amikor Simplicio veszi a szájára. Így, bár a Calculatores sohasem említtetnek alternatívaként azzal szemben, amit Simplicio képvisel az Arisztoteliánusok nevében, a Simplicioval elmondatott bírálat általában rájuk nem vonatkozik.” (56–57.) De Galilei, bár tán ismerte, nem igen követte a Calculatores matematikai „szubtilitásait”, semmibe vette például a végtelenre, valamint az indivisibilia és a kontinuum viszonyára vonatkozó releváns skolasztikus distinkciókat, és úgy tekintette, „hogy a kontinuumok felfoghatók végtelen sok indivisibiliából összetettnek.” Ismerte ugyan – amint William A. Wallace megmutatta – a skolasztikus analitikus nyelv terminus technikusait és formális szabályait, de nem alkalmazta. „Galilei, mint előtte számos humanista, elveti a nyelv használatában az ilyen technikalitásokat és formalitásokat, olyan beszéd- és írásmódokat részesítve helyettük előnyben, amelyeket laikusok éppúgy megérthetnek, mint alaposan képzett specialisták” (63). Viszont a mégis átvett szakkifejezéseknél – mint amilyen például a gradus velocitatis – a nyelvi exactság elhanyagolását bővebb matematikával kompenzálja. Mégis sok kellemetlenséget megspórolhatott volna – véli Sylla –, ha jobban figyel a Calculatores exact nyelvére, például ha idejében alkalmazza a középsebesség-tételt, amelyet csak későn, a Matematikai értekezések redakciója során vett elő, idézi Sylla elismerően Wisan eme fontos észrevételét 54. jegyzetében. „Galilei – indokolja Sylla a középsebesség-tétel elhanyagolását – a szabadesés kérdését a lejtő és egyéb statikai kérdések tanulmányozásának az útján közelítette meg, és ezért inkább a távolság, mintsem az idő mentén tekintette a sebesség változását. Miután kifejlesztett magában egy szkémát, amely inkább sebességekkel és távolságokkal dolgozik, mintsem sebességekkel és időkkel, nem gondolt rá, hogy megvizsgálja, mi történne, ha tekintené a sebesség változását az idővel, vagy az idő szerint változó sebességek kumulatív hatását. A távolság szerint változó sebességek kumulatív hatásának a vizsgálata látszólagos sikerekre vezetett, ám leküzdhetetlen nehézségekre is. Amíg Galilei távolságokkal vetette egybe a sebességeket, a sebességek távolságok felett vett összegezésének semmiféle fizikai jelentése nem volt, és az összegzés nem vezetett középsebesség tétel felé. Ha netán eszibe jutott Galileinek, hogy a pillanatnyi sebességek kumulatív hatását inkább az idő, mintsem a távolság függvényében tekintse, akkor észre kellett vennie ennek a megközelítésnek az előnyeit. Ekkorra azonban már számos tételt gyűjtött össze korábbi gondolatainak az alkalmazása alapján.” (69.) Wisan is éppen ezt hangsúlyozta nagy tanulmányában: a Matematikai értekezések tételeinek többsége nem igényli explicite a sebesség-idő összefüggést, ez inkább csak a megalapozáshoz szükséges. Nagyon jól megvolt Galilei az időnégyzetes törvénnyel is, többnyire abban a formában, ahogyan az I. tétel II. korolláriumban megfogalmazta: „ha veszünk két, tetszőleges távolságot, amelynek kezdőpontja közös, valamint a befutásukhoz szükséges időintervallumokat, ez utóbbiak úgy aránylanak egymáshoz, mint a két távolság egyike mértani középarányosukhoz.” Vagy ahogyan az 1604-es Sarpi-levél fogalmazványtöredékben írta: „A mozgás kezdetétől számított távolságok tehát úgy aránylanak, mint az idők négyzetei; és, dividendo, az egyenlő időkben megtett utak úgy aránylanak, mint a páratlan számok az egységtől számítva, ami megfelel annak, amit mindigis mondtam és kísérletekkel megfigyeltem; és így minden igazság megfelel egymásnak.”

Edith D. Sylla is közölte a kéziratot, az itt újraidézett sorok az ő fordítását követik. „Galilei – kommentálja a töredéket – kétféle értelemben használja itt a „sebesség” szót. Amikor »sebességfok«-ról beszél, vagy amikor »az F, E, D és C pontokban vett sebesség«-re hivatkozik, akkor a pillanatnyi sebességet érti alatta … Azonban amikor Galilei arról a sebességről beszél, »amellyel (a mozgó test) A-ból D-be ment«, akkor, mint mondja, azt a sebességet érti alatta, amely »mindazon sebességfokokból tevődött össze, amelyekkel [a mozgó test] az AD vonal pontjaiban rendelkezett«. Hogyan kell értenünk a „sebesség”-et ebben az értelemben?”

Galilei a sebességfokot, az „F, E, D és C pontokban vett sebességet” indivisibiliának, afféle tovább oszthatatlan matematikai atomnak tekintette, holott tudta jól ő is, akár a középkori filozófusok, hogy a kontinuumok – érvel Sylla – „egyaránt tartalmaznak végtelenségig osztható kisebb kontinuumokat és végtelen sok indivisibiliát; és olykor a mozgást tetszés szerint kicsiny részek segítségével elemzi. Azonban mivel a természetes gyorsuló mozgásokat folytonosan gyorsulóknak tartja, előnyben részesíti az indivisibilis pillanatnyi sebességeket használó analízist. Így, megfelelően a követelménynek, hogy az esés vonalának minden pontjában különböző a sebesség, ezek a pillanatnyi sebességek nem mint infinitézimális mennyiségek, hanem mint második dimenzióval egyáltalában nem rendelkező indivisibiliák interpretálandók.” Azután azt tételezi fel, hogy „a sebesség, amellyel a mozgó test az A-ból a D-be ment”, olyan sebesség, amely „az összes sebességfokokból tevődik össze, amelyekkel a mozgó test az AD vonal pontjaiban bírt.” A két feltétel együtt – érvel Sylla – a középkori filozófusoknak elfogadhatatlan. „Amit Galilei ebben az 1604-es érvelésében csinál, a Calculátorok elvetették volna, hozzá lévén szokva hangsúlyozni, hogy indivisibilia és kontinuum között arány nem lehetséges, és hogy akárhány indivisibilia sem tevődik össze soha kontinuummá.”

De Sylla, tán épp mert oly jó ismerője és barátja a Calculátoroknak, nem föltétlenül ért egyet Galilei eljárásának modern bírálóival. „Kényelem kedvéért – érvel – nevezzük ezeket a pillanatnyi sebességekből összetevődő sebességeket »átfogó sebességeknek« (overall velocities). Ezidáig a legtöbb történész ezt a fogalmat és Galilei háromszögeinek a területét azonosnak vette azzal, amit Oresme »egy kvalitás kvantitásának« (jelen esetben »a mozgás kvantitásának«) nevezett, vagyis a »totális sebességgel«, és ebből az értelmezésből kiindulva azonosították a totális sebességet a megtett úttal, mivel Oresme sebesség-konfigurációinak a területe megtett utat ábrázol. Csakhogy ez az értelmezés Galilei esetében még a Matematikai értekezések idején sem helytálló, amikor az ábráján a függőleges egyenes időt jelent, és mégannyira nem helytálló ebben az 1604-es szövegben, ahol a függőleges egyenes távolságot ábrázol, úgyhogy a háromszögek, ha egyáltalában lehetnének egyebek, mint sebességek, akkor sebesség szorozva úttal lehetnének, és ennek a szorzatnak nyilvánvalóan semmi fizikai értelme nincsen.”

Galilei – amint különben már Koyré figyelmeztetett rá – nem „integrálható folytonos függvényekben” gondolkozott, hanem arányokban. Az ő feladata nem a ds = at dt differenciálegyenlet integrálása volt, de nem is egy kvalitás kvantitását kívánta jellemezni, mint a Calculátorok. Ő a pillanatnyi sebességeket átfogó háromszögekkel arányokat fejezett ki, kora születő indivisibilia-matematikájának megfelelően, és azt állapította meg, hogy az AD útnak megfelelő ADH háromszög aránya az AC útnak megfelelő ACG háromszöghöz ugyanaz, mint AD négyzet aránya AC négyzethez. „A továbbiak matematikája könnyen megmagyarázható az arányok középkori matematikájának a kereteiben, ahogyan azt Bradwardine és Oresme kifejtette. Galilei előszöris kifejezi az éppen elért eredményét arányok arányaként. Az átfogó sebességek aránya, mondja, »kétszeres aránya« a távolságok arányának. Mai jelöléssel ezt az arányok arányát a következőképpen írhatjuk fel:

(V1 : V2) : (D1 : D2) :: 2 : 1,

ahol V az átfogó sebességeket jelöli, D a távolságokat, és ez az »átfogó sebesség« terminus Bradwardine és Oresme szellemében a megelőzően történtekkel ekvivalensként értendő.

Ámde, folytatja Galilei, az idők viszonya az utakhoz ellentétes a sebességek utakhoz való viszonyával, mivel amikor a sebességek nőnek, az utak megtételére szükséges idők csökkennek. Ha tehát a sebességek aránya úgy aránylik az utak arányához, mint 2 az 1-hez, akkor az idők aránya úgy fog aránylani az utak arányához, mint 1 a 2-höz, azaz feles arány lesz:

(T1 : T2) : (D1 : D2) :: 1 : 2,

mai szóval az idők aránya a távolságok négyzetgyöke lesz.

Előző történészek megállapították, hogy Galilei ebben a következtetésében vagy megmagyarázhatatlan matematikai hibát követett el, vagy szokatlan értelemben használta az »ellentétes arány« szavakat. Amint a fenti kifejtésből látható, egyik megállapítás sem pontos. Csupán azt a nyilvánvaló következtetést vonhatjuk le, hogy Galilei jól ismerte és alkalmazta az arányokkal végzett műveletek egy meglehetősen standard középkori felfogását. Ezért használja Galilei az egyébként olasz szövegben a távolságok arányának 1/2 hatványára vagyis négyzetgyökére a szokásos latin subduplicata terminust” (72–74.)

 

 

Sylla azonban nem állítja, hogy a szöveg matematikai érthetősége egyúttal fizikai értelmességét is jelenti. Ellenkezőleg, még matematikai szempontból is „enyhén szólva kényesnek tekinthető, amit csinál, hiszen ugyanakkor, amikor háromszögei területeivel fejezi ki a mozgásban megtett utakat, úgy tesz, mintha nem sebességet szorzott volna úttal.” (75.) Dehát néhány oldallal elébb nem épp Sylla maga mutatta meg, hogy Galilei csakugyan nem szorzott sebességet úttal, aminek „nyilvánvalóan semmi fizikai értelme nincsen”? Miért kellett volna akkor úgy tennie, mintha nem ezt csinálta volna? Talán azért, mert az 1604-es Sarpi-levél töredékkel Sylla egy másik híres és kötelességszerűen idézett – valószínűleg szintén 1604-es – töredéket hoz kapcsolatba, a 152r fóliánst, ahol mozgásra vonatkozó jegyzeteiben Galilei úgyszintén területek arányával számol, azonban „valójában azt tételezve fel, hogy a sebesség inkább az idővel növekszik egyenletesen, mintsem a távolsággal. Ezen a jegyzetlapon előszöris az látható, hogy Galilei felveszi a lehető legegyszerűbb két számot annak a megvizsgálására, hogy mi történik az időben egyenletes gyorsulásban, felírva a megtett utakra a két kis négyzetszámot, 4-et és 9-et. Ha a sebesség egyenletesen növekszik az idővel, akkor a távolság négyzetgyökével arányosan növekszik (valójában ez utóbbi lehetett Galilei kezdeti belátása). De ha a sebesség a távolság négyzetgyökének arányában növekszik, akkor, érvel Galilei, a pillanatnyi sebesség ábrája a távolsággal szemben felhordva parabola formájú lesz. A lap jobb felső sarkában látható Galilei számítása, hogy ebben az esetben az átfogó sebességek (azaz a parabolaszegmensek területei) úgy aránylanak egymáshoz, mint a távolságok háromkettedes arányai, jelen esetben mint 13 egész 1/2 a 4-hez.” A számok ábrára vonatkoznak, amelyen Galilei a függőleges esési távolságokat a geometriai középarányos tételnek megfelelően jelöli ki: „Amint BA aránylik AD-hez, úgy aránylik DA az AC-hez. Legyen BE a sebességfok B-ben. Legyen BE aránya CF-hez ugyanaz mint BA aránya AD-hez; akkor CF lesz a sebességfok C-ben. És mivel CA úgy aránylik AD-hez, valamint CF aránylik BE-hez, azért AC négyzete úgy aránylik AD négyzetéhez, mint CF négyzete BE négyzetéhez; továbbá mivel CA négyzete úgy aránylik AD négyzetéhez, mint CA aránylik AB-hez, azért CF négyzete úgy aránylik BE négyzetéhez, valamint CA az AB-hez, tehát E és F pontok parabolán fekszenek.”

Wisan átírásában, (Wisan, Galileo's 210–211) dv-vel jelölve a sebességfokot:

1. legyen BA/AD = DA/AC, BE = dv(B), és BE/CF = BA/AD = AD/AC.

2. Akkor CF = dv(C).

3. Továbbá, CA/AD = CF/BE és (CA/AD)2 = (CF/BE)2.

4. Azonban (CA/AD)2 = CA/AB.

5. Tehát (CF/BE)2 = CA/AB, és az E, F pontok parabolán feküsznek.”

 

 

Erre az ábrára és érvelésre vonatkozik Galilei számpéldája: „AB mentén a sebesség mint 4. AC mentén a sebesség mint 13 és 1/2.” „Ez az eredmény – jegyzi meg Sylla – egybevág azzal, ahogyan Galilei 1604-ben számítja az átfogó sebességeket, arányosként a sebességet távolsággal szemben felhordó ábráinak területeivel. Mivel a parabolaszegmensek területei állandó hányadát képezik az őket tartalmazó négyszögek területeinek, a parabolikus területek aránya csak a megtett távolságoktól és az elért maximális sebességfokoktól függ (ez utóbbiak pedig a megtett távolságok négyzetgyökeivel arányosak). Következésképpen [a számpéldában] a területek aránya egyenlő 4 aránya 9-hez háromkettedes arányban véve, azaz 8 a 27-hez, vagy kettővel egyszerűsítve, 4 a 13 és 1/2-hez. Azt hiszem, ennek az interpretációnak több értelme van, mint feltételezni, hogy Galilei középkori mozgásformulákat kevert össze (Wisan, Galileo's 213–214.) (Sylla, Galileo and the Oxford 76–77, 76 és 77 jegyzet.)

Wisan ugyanezt a 152r jegyzetlapot, amelyet Favaro a lövedék parabolapályájának vizsgálataként értelmezett, inkább egyfajta sikertelen kísérletnek tekinti egy fundamentális reláció levezetésére a gyorsuló és az egyenletes mozgás között, az esés időnégyzetes törvényének a felhasználásával. Favaro értelmezését sem tartja azért kizárhatónak, csak akkor BE és CF nem ábrázolhatják az AB illetve az AC esés során nyert sebességet, hanem ugyanazon horizontális sebességgel megtett utakat ábrázolnak az AB illetve az AC esés t(AB) és t(AC) ideje alatt. De Galilei BE-t és CF-t sebességfokoknak tekinti. Ha viszont az egyenletes és a gyorsuló mozgás viszonyát kereste, akkor, véli Wisan, homályosan emlékezve középkori formulákra, megpróbálkozhatott ilyesféle arányosságokkal:

„V1/V2 = (D1/D2) (T1/T2) vagy

T1/T2 = (D1/D2) (V1/V2).

Ha D1/D2 számszerű értékét 4/9-nek vesszük, és V1/V2 vagy T1/T2 értékét viszont 2/3-nak, T1-et vagy V1-et pedig 4-nek, akkor az ismeretlen T2 vagy V2 számértéke 13 egész és 1/2-re jön ki. És akkor előttünk van a titokzatos 13 1/2”, ahogyan az a 152r lap egyik feljegyzésében teljesen jól láthatóan, egy másikban erősen gyaníthatóan szerepel. Galilei – Wisan Galileije – a 152r fóliáns feljegyzéseivel hiába kereste az utat az egyenletes és a gyorsuló mozgás között. „Abbahagyta azért a próbálkozásokat az esés helyes törvényének az alkalmazásával, és egyenletes mozgásra vonatkozó állításokból próbált új módszerrel eljutni a III. Tételhez”, amely a lejtőnek és függőleges magasságának az arányával adja meg a befutásukhoz szükséges idők arányát. Lassan jött csak rá, hogy a diagramokon a függőleges vonallal nem távolságot, hanem időt kell ábrázolni, és akkor szinte magától adódik az összefüggés az egyenletesen gyorsuló mozgás és a végsebessége felével ugyanazon idő alatt ugyanakkora utat leíró egyenletes mozgás között, amint az majd az I. Tételben jelentkezik. Ez azonban jóval későbbi történet, és addig Galilei megpróbálta szemléletes, közvetlenül a lejtőre vonatkozó propozíciókra és tételekre felépíteni mozgáselméletét, mint amilyen Posztulátuma (azonos magasságból leszállva a test [minden lejtőn] azonos sebességfokokra tesz szert), vagy a De motu teoréma (ugyanazon test függőlegesen annyival nagyobb erővel száll le, mint lejtőn, amilyen arányban nagyobb a lejtőn leszállás hossza a függőleges esésnél), vagy a húrtörvény (egy kör legmagasabb vagy legalacsonyabb pontjából húzott minden húron egyenlők az esési idők). Wisan épp az ilyen antik statikából és középkori De ponderibus traktátusokból származó tételekből eredezteti Galilei mozgáselméletét és ragaszkodását a lejtőhöz, amely az emelő és a mérleg mellett az antikvitás óta az egyszerű gépek mechanizmusainak – azaz a „mechanikának” – legfőbb magyarázó elve volt.

Az egyensúly feltétele és a munka kisebb erővel való elvégezhetősége volt többnyire a tárgya azoknak a középkori és renaissance traktátusoknak is, amelyek közé Raffaello Caverni besorolta Galilei ifjúkori műveit és mozgáselméletének kialakulásáról tanuskodó kéziratos töredékeit; Wisan nem is mulasztja el, amikor csak alkalma nyílik rá, emlékeztetni Caverni érdemeire, amelyeket igencsak elfeledtek, amikor a század elején Duhem kutatásai s felfedezései nyomán a párizsi és az oxfordi magiszterek kinematikai és dinamikai (vagy ilyenként félreértett) megfontolásainak és diagramjainak a fényében a statikai kérdésfeltevések elhalványulni látszottak. Wisan rekonstrukciója a De motu locali fejlődéséről és kronológiai lépéseiről – amint ő maga összegezi szerteágazó és nehéz fejtegetéseit – kiemeli, „hogy Galilei a mozgás tudományát a lejtőn való mozgás tanulmányozása felől közelítette meg, és a Matematikai értekezések mozgáselmélete fokozatosan fejlődött ki Galilei legkorábbi mechanikai munkájából. Föltárja továbbá a rekonstrukció a folytonosságot eme korai mechanikai mű és a középkori súlyokról szóló tudomány között. És kiváltképpen hangsúlyozza Jordanus első posztulátumainak a fontosságát az új tudomány eredetében, és új perspektívában mutatja be a tizennegyedik századi kinematika szerepét. Galilei nem ebből a tradícióból indult ki, azonban valószínűnek látszik, hogy feléje fordult, amikor meggyőződött róla, hogy a természetes mozgás szükségképpen gyorsuló. Ebből a tradícióból származó írásokban található fogalmakkal és módszerekkel Galilei tudománya új megalapozást nyert, és új technikákat kapott további következtetések levonására.” (Wisan, Galileo's 295–298.)

De Wisan, ellentétben Cavernivel, nem osztja be Galileit elődei és kortársai közé, akik közül nem egyet Caverni számos részletkérdésben tisztábban látónak mutat Galileinél. „Ha, amint érveltem – hangsúlyozza Wisan – Galilei sok elemét fel is használta régebbi tradícióknak, mindeme darabokat valami merőben mássá transzformálta – a mozgás új tudományát alkotta meg. Galilei De motu localija rendkívüli originalitásról tanúskodó mű, ha az értekezésnek mint egésznek a felfogása és megvalósítása alapján ítéljük inkább meg, mintsem az egyes részletei alapján. Kopernikusz könyvének az antik asztronómia volt a modellje. Galileinek nem volt ehhez fogható mintája. Leginkább még Arkhimédész értekezése a spirálisról lehetne valami hasonló. Akárcsak Arkhimédész, Galilei is az egyenletes mozgásról szóló fejezettel indít, és méghozzá Arkhimédész első tételét veszi kiindulási pontjául. Mi több, matematikája eléggé tudatosan és bevallottan arkhimédészi. De míg Arkhimédész kinematikai feltételeivel és elegáns matematikai módszereivel geometriai görbék tulajdonságait vizsgálja, addig Galilei a mozgás kutatására használja a hasonló módszereket.”

De még ha a Matematikai értekezésekbe beépített De motu locali első könyvéhez lehet is mintát találni Arkhimédésznél, a gyorsuló mozgást tárgyaló második könyvhöz már végképpen sehol semmiféle modell nem akad. „Galilei eredetiségének a nagysága, ahogyan ebben a második könyvben jelentkezik, viszonylag ritka a tudományok történetében. Itt nincs előzmény, mint az első könyv esetében az egyenletes mozgást tárgyaló traktátusok, vagy mint a harmadiknál egy olyan jóllehet igen primitív, de mégiscsak a lövedék mozgásának 'új tudományát' megteremteni szándékozó próbálkozás, mint a Tartagliáé.” Ez magyarázhatja tán leginkább, véli Wisan, hogy akkora fontosság tulajdoníttatott Galilei mozgásra vonatkozó munkásságának. Egyébként ugyanis matematikája roppant nehézkes és – egy évvel Descartes analitikus geometriájának megjelenése után – elavult, amint maga az egész értekezés „reménytelenül középkori”, ahogyan elválasztja egymástól a „természetes” és az „erőszakos” mozgásokat, és ahogyan teljesen hiányzik a körmozgás analízise. Nem csoda, hogy mozgáselméletének nem igen mutatható ki közvetlen hatása. Wisan szinte folytatja itt Raffaello Caverni századvégi ítéletét, aki nagy műve összegezésében úgy véli, hogy Johann Marcus Marci 1639-ben Prágában De proportione motus címmel megjelent könyve matematikájában sokkal modernebb és szinte már a differenciál számítást előlegzi, Baliani 1638-ban Genovában kinyomtatott Del motoja pedig „elrendezésében annyival matematikaibb és bizonyítási eljárásai annyival egyszerűbbek és világosabbak, hogy aki a tudományt forrásaiból kívánja elsajátítani, jól teszi, ha Baliani művét részesíti előnyben Galilei Dialógusával szemben.” (Raffaello Caverni. Storia del metodo sperimentale in Italia. Tomo IV. Del metodo sperimentale applicato alla scienza del moto dei gravi. Parte prima. Ristampata anastatica dell'edizione di Firenze, 1891–1900. Bologna, 1970, Forni Editore, 584.) „Ám mégis Galilei – összegez Wisan – úttörő munkát végzett a görög geometria módszereinek az adaptálásával a lejtők mentén történő mozgás és a lövedékek mozgásának a vizsgálatára. Bár matematikája és fizikája hamar túlhaladottá vált, ezek a vizsgálatok ugyanúgy hathattak későbbi fejlődésekre, ahogyan feltételeztem Jordanus és mások régebbi és általában nem hasonló munkáiról, hogy lényeges elemekkel járultak hozzá Galilei mechanikájához. A De motu locali egyebek között megmutatta, hogy a mozgás kezelhető arkhimédészi módon, és a legkevesebb, amit elmondhatunk róla, hogy példája az arkhimédészi matematikai módszerek asszimilációjának a korai modern tudományban. Galilei csaknem ötven évet felölelő munkássága állandó haladást mutat az euklidészi geometria igen primitív alkalmazásától a középkori statika által sugalmazott elemi propozíciók levezetésére el egészen a görög matematika viszonylag kifinomult alkalmazásáig merőben új problémák kutatására. Utolsó értekezése bizonyosan megközelíti a modern mechanika stílusát, bizonyos mértékig a tartalmát is” (Wisan, Galileo's 298–299). Wisan maga is ingadozna két kép között: Caverni Galileit sok kiváló kortársa közt egynek bemutató és Favaro abszolút úttörőnek beállító képe között? Edith Dudley Sylla, sok elemét átvéve Wisan értelmezésének, figyelmeztet rá, hogy Galilei szüntelenül csiszolta eredményeit, pontosítani törekedett bizonyításait. „Galilei maga úgy vélekedhetett, hogy új tudománya nemcsak azért értékes, mert új eredményeket fedezett fel, hanem azért is, mert ezeket az eredményeket egyetlen deduktív rendszerbe foglalta. Méghozzá úgy remélte, hogy ez a rendszer vezetheti (és nem a skolasztikus analitikus nyelvek) a későbbi kutatásokat” (Sylla, Galileo and the Oxford… 108).

Ezáltal átalakította a bizonyítási eljárást, magát a bizonyítás fogalmát. „A regreszus átfogó arisztotelészi fogalmának kereteiben dolgozva, de matematikai analízist és szintézist használva Galilei a gyorsuló mozgásra vonatkozó néhány alap-tételből indult ki, amelyekre kísérleti evidenciája volt. Azután ezekből a tételekből visszafelé dolgozott elvekhez (amelyeket láthatóan nagyobb egyszerűségük miatt választott ilyenekként) és előre bonyolultabb tételekhez” (107). Ilyen experimentálisan evidens tételekként Sylla az ingalengések egyidejűségét és a lövedék parabolikus pályáját jelöli meg, „és talán, ha nem a parabolikus pályából vezette le, a megtett út arányosságát az idő négyzetével a természetes gyorsuló mozgásban” (102). „Természetesen Galilei nem előző elméletektől teljesen mentesen jutott kiinduló experimentális evidenciáihoz. Annak a felismeréséhez, hogy a kísérleti tapasztalat nagyjából parabolapályával egyeztethető össze, ismernie kellett a parabola matematikai jellegzetességeit. Előző elmélet ismerete kellett ahhoz is, hogy ebből a kísérleti eredményből matematikai elemzéssel alapvetőbb elvekig dolgozzon vissza. Így például ahhoz, hogy a parabolapályából visszadolgozzon a függőleges irányban egyenletes gyorsulásig, Galileinek fel kellett tételeznie, megelőző teoretikus érvelés alapján, hogy horizontális irányban a sebesség állandó kell legyen” (107).

Sylla – William A. Wallace látható hatása alatt – tán túlságosan hangsúlyozza az arisztoteliánus regreszus-módszer jelentőségét Galilei érveléseiben, de nem ez a lényeg. A lényeg az, ahogyan a gyorsuló mozgás vizsgálatában összefonódik egymással tétel és bizonyítás, ahogyan egyre jobban – sohasem végső matematikai tökéletességig – feltisztul Galilei érvelésében a bizonyítás, a Sarpi-levéltől és töredékétől el egészen A természet szerint gyorsuló mozgás tárgyalásáig a Matematikai érvelések és bizonyítások Harmadik Napjában. Ezt emelte ki Wisan is, és épp a bizonyítások egyszerűsége és világossága miatt ajánlotta a kezdőknek Caverni inkább Baliani Del motoját Galilei műve helyett. Galilei páratlan sikerét és hatását talán az is magyarázhatja, hogy meggyőzően és hatásosan érvelt tétel és bizonyítás szerves és szükségképpeni összetartozása, lényegi azonossága mellett egy olyan korban, amikor ez egyáltalában nem volt természetes, de amikor kiművelt emberfők egy tán nem is egészen kicsiny körében épp ez iránt nőtt meg hirtelen az igény. A természetre vonatkozó tételek igazsága általában tekintélyektől függött; teológiai, filozófiai, politikai, társadalmi tekintélyektől. A matematika különlegessége és ugyanakkor elkülönülése a többi tudománytól éppen azt jelentette, hogy állításainak és tételeinek helyességét nem tekintélyekre és közvetlen tapasztalatra való hivatkozással kellett igazolnia, hanem szigorú érvelésekkel, amelyekben csak meghatározások, elfogadható egyszerű alapelvek és már bizonyított állítások fordulhattak elő. Az így keletkező kifinomult és gyakran igen bonyolult, de mégis áttekinthető struktúra – a bizonyítás – sokszor érdekesebb és tanulságosabb magánál a tételnél; az is előfordul, hogy a tétel összefüggései más tételekkel vagy akár tulajdonképpeni jelentése épp a bizonyításból derül ki. Ezért mondotta a Nagy Fermat-tétel bizonyításának ürügyén Gian–Carlo Rota, hogy tétel és bizonyítás felcserélhető, a tétel értelme voltaképpen a bizonyítás. „Fermat elveszett tételének bizonyítása határokon és századokon átívelő összjáték diadala… Wiles bizonyításának az értékét nem az határozza meg, amit bizonyít, hanem az, amit felnyit, amit lehetővé tesz.” (Gian–Carlo Rota. The phenomenology of mathematical proof. Synthese, 1997, vol. 111, 183–196.) Galilei hosszú fáradozása az időnégyzetes törvény bizonyítására szinte kínálkozik illusztráció gyanánt. S ha végül teljesen kifogástalan matematikai bizonyítást – az infinitézimális számítás híján – nem is sikerült elérnie, lehetővé tette azt; tán még matematikai szempontból is sokkalta inkább, mint modern interpretátorai általában hiszik. Mennyivel méltányosabban ítélt Otto Toeplitz, aki hajlott rá, hogy Galilei gondosan részletezett lejtő-kísérletében annak a bonyolult matematikai eljárásnak a primitív és ösztönös mechanikai megvalósítását lássa, amellyel meg lehet találni az F/t/ = f/x/dx = 1/2 g t2 „primitív függvényhez” azt az f/t/ „függvényt”, mely az a,b szakasz (a <= t <= b) minden pontjában egyenlő az F/t/ „függvény” F'/t/ „differenciálhányadosával”: f/t/ = F'/t/. Akárhogyan is történt, az időnégyzetes törvény bizonyítása mindenképpen igazi bizonyítás, abban az értelemben, ahogyan Saunders Mac Lane, a modern algebra egyik nagymestere értette: „A valódi bizonyítás nem egyszerűen csak formalizált dokumentum, hanem ideák és belátások sorozata.” Galilei talán még dolgozata (szándékosan provokatív) címével is egyetértene: „Despite physicists, proof is essential in mathematics.” (Synthese, 1997, vol. 111, 147–154.) Talán csak azt tenné hozzá, hogy bizony lényeges a fizikában is. Talán éppen ezt fejezi ki utolsó könyve magyar fordításának a címében, nem pontosan, de helyesen fordítva, a Matematikai érvelések és bizonyítások.