Kiadó: GIN Professional Kft; 1163-H. Budapest, Edit u. 15.

Szerző: Gulyás István közgazdász.

http://www.ginprofessional.hu ; mailto:gulyas@ginprofessional.hu

Budapest, 2011. december 15.; második kiadás.

István Gulyás The axiomatic system of the N-fold (N>=3) bookkeeping by scientific work is licensed under a Creative Commons Nevezd meg!-Ne add el!-Ne változtasd! 2.0 UK: Anglia és Wales Licenc.
Based on a work at www.ginprofessional.hu .
Permissions beyond the scope of this license may be available at www.ginprofessional.hu .

közgazdász

Született: 1948.10.17-én

(A képen a szerző látható 2009-ben)

"A dolgok, új nézőpontból, meglepően másnak mutatkozhatnak,

mint amilyennek valaha megismertük őket. S ez áll a könyvvitelre is."

ELŐSZÓ

Az elméleti könyvvitel alapjai

Az n-szeres (nł3) könyvvitel elméletének elemei és axiomatikus rendszere

Előszó a függelékekhez

1. Függelék

2. Függelék

3. Függelék

4. Függelék

Alkalmazott fontosabb jelölések

Eme új "Harmadik rész" kiadására két okból kerül sor. Egyrészt azért, mert elkészítettem e "harmadik rész" angol fordítását és így szükségképpen és párhuzamosan át kellett tekintenem a magyar verziót is. Ezért elkerülhetetlenné vált a magyar változat újbóli ellenőrzése. Az észlelt és zavaró matematikai elírásokat - ebből akadt néhány - kijavítottam. Másodszor azért is kerül sor egy év multán az új első kiadásra, mert az angol nyelvre fordítás felkínálta a lehetőséget a meghatározások és bizonyítások alaposabb áttekintésére, a megfogalmazások helyenkénti egyszerűsítésére, pontosítására. Ugyanakkor lehetővé vált a corolláriumok számának bővítése is. Sőt, sor kerülhetett a definíciók és az axiómák terén némi átcsoportosításra is, s ezzel lehetőség nyílt arra, hogy az úgynevezett általános könyvvitel és a speciális vagyonkönyvvitel princípiumai egyértelműen kettéválhassanak. Így már értelme lett annak is, hogy a vagyontól különböző speciális könyvvitelekre illusztráló fiktív példákat illesszek be függelékként. Mindazonáltal kijelenthetem, hogy az n-szeres könyvvitel axiomatikus rendszere az alapvető felépítését és tartalmát tekintve mit sem változott a 2009. évi kiadáshoz képest - mert logikusan nem is változhatott.

Lényegében a könyvem,^[1] melynek megírásához az 1997. év végi tudományos problémafelvetést követően a 2000. év elején kezdtem - e harmadik részét kivéve, és természetesen magyar nyelven - a 2003. év végére elkészült.^[2]

Tartalmát, akkor, a középiskolai tudásszintnél többet nem igénylő és célzatosan népszerűsítő jelleggel írt első és második rész, valamint a függelék képezte. Úgy tűnt: minden fontosabb alapismeretet, amit a hagyományos könyvvitellel, illetve az általam leírt modern N-szeres (N³3) vagyonkönyvvitellel kapcsolatban el lehetett mondani, azt mind kifejtettem.

Ámde ekkor olvastam először Szász Gábor 1972-ben kiadott "Az axiomatikus módszer" című könyvét.^[3] Ebben az I. fejezet 2. pontja a matematika tudománnyá válásról szól. Szász kifejti: "Sem az egyiptomiak, sem a babiloniak nem foglalták szabályokba matematikai ismereteiket. Vagyis, mai nyelven szólva, nem alkottak tételeket, hanem csak mintapéldákat állítottak össze, s ezeken a konkrét számszerű példákon mutatták be a számítási módszereket.

A mai matematikának már a középiskolás fokán általánosan használt olyan kifejezési formák, mint a definíció, tétel, axióma és bizonyítás az ógörög kultúrában alakultak ki, s eközben a matematika tapasztalati ismeretek gyűjteménye helyett deduktív tudománnyá vált."

Azonnal beláttam, hogy a tradicionális könyvviteltannak, sem Paccioli^[4] előtt sem Paccioli óta, máig nincs szabatosan megfogalmazott, egyértelmű és egymásra épülő tudományos fogalmakból álló, ellentmondástól mentes fogalomrendszere, nincsenek axiómái és nincs egymásra épülő bizonyított tételrendszere sem. Igaz ez az általam felvázolt - már egzakt definíciókat, axiómákat, tételeket, illetve ezek összefüggéseit is említő - eddig elkészült modern N-szeres vagyonkönyvviteltanra is. Tehát a könyvviteltan, mint tudomány, ebben az állapotában, úgy, ahogy volt, nem lépte túl a matematika tapasztalati ismeretek gyűjteménye 2500 évvel ezelőtti babiloni-egyiptomi szintjét.

Pedig a lehetőség Euklidész óta, azaz legalább kétezer háromszáz éve adott volt. Lehető volt, hogy modern módon írják le a könyvvitel tanát is, hasonlóan a már akkor fejlett tudományt jelentő matematikához, geometriához.

De a könyvvitel N-szeres (N≥3) voltát is felfedezhették volna, már az antikvitásban is, de Paccioli korában már mindenképp. Ugyanis bármely gazdasági esemény következett be, már az ókorban is, az sohasem csak két, azaz eszköz és forrás (tőke) aspektusát mutatta a vagyon és/vagy az adósság változásának, hanem mindig eleve legalább három aspektusét. Pl.: ha vettünk valamely árut hitelre, akkor e gazdasági eseményről legalább három paraméter adatát ismertük azonnal: (1) a változás időpontját, (2) a megvett vagyontárgy típusát (fajtáját) és (3) a vásárlás forrását, azaz azt, hogy idegen tőkét (pl. hitelből) vagy saját tőkét fektettünk-e be. És bármely más gazdasági eseménynél ugyanezt tapasztaljuk. E három paraméter adat-3-asa (mint az esemény koordináta-3-asa) pedig azonnal, még mielőtt egyáltalán bármit is könyveltünk, természetes módon kijelölte és így létrehozta, vagy megváltoztatta az idő-, eszköz- és forrásaspektusú, a változás által érintett természetes vagyonosztályokat, meghatározta természetes módon, az idő-eszköz-forrás aspektusú vagyonosztályozásokból álló komplett dinamikus és statikus vagyonosztályozási rendszert, nevezzük így, (most, e példa szerint) a háromserpenyős mérleget (ld.: a könyv első borítóján is). De ezt a könyvelők és a könyvvitel professzorai több mint 2300 éven át nem ismerték fel. Pedig ez az adat-3-as, amióta csak gazdálkodik az ember, attribútuma a gazdasági eseményeknek és benne van és volt mindig is a könyvelés könyvelők által ismert adathalmazában, ha agyagtáblára könyveltek is. Csak ezt sem ismerték fel.

A hagyományos könyvvitel és tana több mint 2300 éven át nem fejlődött kielégítően. Paccioli^[5] írta először le 1494-ben egy kezdetleges kettős könyvvitel alkalmazását, egy egyszerű példán bemutatva azt. Shär^[6] megalkotta 1890-ben a zárt számlarendszert (Németül: "Das geschlossene Kontensystem". Schmalenbach^[7] és Kosiol 1933-ban megálmodtak egy úgynevezett dinamikus mérleget, amelyek voltaképp statikusak. A könyvviteltan eközben, Pacciolitól Schmalenbachig, eljutott a kettős könyvvitel ún. egyszámlasoros számlaelméletétől, a XX. század elejére, tehát 400 év alatt, a kettős könyvvitel ún. négy számlasoros számlaelméletéig. Voltaképpen, a hagyományos könyvviteltan, 1910-től napjainkig, azaz egy teljes évszázadon át megvalósult apróbb változtatásaitól eltekintve fejlődésképtelenül stagnált. Professzoraik máig leírják, hogy létezik és használható az ún. egyszeres könyvvitel, ami alapvető tévedés. Ezt is bizonyítom ebben a munkában. És a kettős könyvvitel számlaelméleteitől sem tudtak elszakadni még a személyi számítógépek megjelenése után, a XX. század végén megkezdődött PC korban sem. Sőt, a szoftverfejlesztők is, könyvelő programjaikkal, máig, egyszerűen utánozzák a manuális kettős könyvvitelt, így azok is konzerválják az elavult könyvviteli ismereteket és gyakorlatot. E műben ezt is bizonyítom.

A hagyományos könyvvitelnek és tanának fejlődése mára zsákutcába jutott, s e tan egyenesen ortodoxszá vált.

Ezért 2004 elején elkerülhetetlennek láttam a könyvviteli elemek felállítását megkísérelni és ezen keresztül az n-szeres (n≥3) komplett (azaz kielégítően informatív és a gazdasági eseményekre nézve zárt rendszerű) könyvvitel létét, tulajdonságait és az általa nyílt lehetőségek tág terét bemutatni. Bizonyítom továbbá, egzakt módon, hogy mind az ún. egyszeres könyvvitel, mind az ún. kettős könyvvitel inkomplett. Ezek oktatása és "használata", leginkább ma a PC-k korában hátráltatja a gazdasági szereplők kielégítő információval való ellátását - és ráadásul nem egyszerűsíti a könyvelési munkát sem.

Döntöttem. Felfüggesztettem a könyvkiadás előkészületeit, s hozzáfogtam a vagyonkönyvviteli elemek összeállításához, Ez történt egymásra épülő definíciók, axiómák, tételek, sokszor új, addig fel sem merült tételek megfogalmazásával és bizonyításával. E tevékenység, a könyvviteli elemek koherens rendszerbe foglalásával, kellemes meglepetésként, további új ismereteket is hozott.

Noha időközben betegség és műtét miatti hosszas lábadozás valamint kereső foglalkozásom (outsider vagyok nem főfoglalkozású kutató) is akadályozott célom mielőbbi elérésben, mindazonáltal most, az eredményt végre itt közreadhatom. Ezen biztosan lehet csiszolni. Lehet ezt bővíteni is és javítani is. (E 2. kiadás is ezt tükrözi.) Sőt! Másképp is fel lehet ezt az axiomatikus rendszert építeni - ez ma már egyrészt tudományos közhely, másrészt tapasztalható tény. Tény, ha összevetjük például az euklideszi és a Bolyai-Lobacsevszkij, valamint a Hilbert-féle geometriákat, mint axiomatikus rendszereket. Tény viszont az is, hogy az általam leírt modern könyvviteltannak ez az axiomatikus rendszere többé már nem kerülhető meg és nem hagyható figyelmen kívül, megítélésem szerint sem az oktatásban, sem a tudományos kutatásban.

Tehát e pillanattal a könyvviteltan is átlépett az egzakt, egyértelmű és koherens terminusokkal, valamint alaptételekkel megalapozott ún. bizonyító és deduktív tudományok közé. Ha 2300 évet késve is, de át! Ennek itt volt az ideje.

A könyvviteltan az n-szeres könyvvitelek axiomatikus rendszerének létrejöttével tehát egyfelől csatlakozott a modern, egzakt tudományok sorába, másfelől - hasonlóan például a fizikához, a kémiához, a pedagógiához, stb. - tárgyánál fogva végleg két alapvető tudományágra bomlott: az elméleti könyvvitel és az alkalmazott könyvvitel tanára, melyek ugyanakkor kölcsönösen össze is függnek egymással. Az elméleti könyvvitel tárgya: a tapasztalatokból elvont alaptételek segítségével a valósággal egyező általános és speciális könyvviteli törvények feltárása. A vagyonkönyvvitel elméleti ismereteit gyarapította például Paccioli (1494) az első könyvviteli leírással, L. Flori (1633) a perszonális számlaelmélet, Augspurg (1852), Hügli (1887), Shär (1888), Kuntner (1908) Niklisch (1911) a két-, Leitner (1909) és Le Coutre (1926) a három-, illetve Schmalenbach ("Der Kontenrahmen", 1927) és Burri (1940) a négy-számlasoros számlaelmélet, továbbá: Shär (1890) a zárt számlarendszer ("Das geschlossene Kontensystem"), valamint Schmalenbach és Kosiol (1933) az úgynevezett dinamikus könyvviteli mérleg megalkotásával. Minden olyan ismeret pedig, ami az előbbieken kívül van az alkalmazott könyvvitel tárgyát képezi. Így az egyes nemzeti és ágazati, stb. sajátosságoknak, például a magyar számviteli törvény, vagy az amerikai számviteli sztenderdek szerinti könyvelés alapelveinek és szabályainak, valamint egyes konkrét gyakorlati könyvelési és mérleg- stb. megoldásoknak az ismertetése az alkalmazott könyvvitel tárgykörébe tartozik.

Végül fontos azt is leszögezni: az n-szeres könyvvitelek axiomatikus rendszerének elméletrendszere nem teszi használhatatlanná, érvénytelenné az eddigi könyvelési gyakorlatot. Ellenben a könyvvitel fejlődésén kívül, mind a menedzsment információigényének korszerű kielégítése, mind a könyvelőszoftverek ehhez igazodó érdemi továbbfejlesztése előtt megnyitja az utat.

E mű az azonos című könyv (438 oldal) harmadik fejezeteként (ez a könyv utolsó kb. 100 oldala) maga a tömény, bár középiskolás tudásszinttel is megérhető elméleti része a modern könyvviteltannak. Aki (népszerűsítő jelleggel is írt) további részletes magyarázatokat kíván, annak javasolom először az említett könyv első két részének az elolvasását - mely már az OSZK-n kívül a nagyobb egyetemi könyvtárakban és a Fővárosi Szabó Ervin Könyvtár fiókjaiban is magyar nyelven hozzáférhető.

1.1 Princípiumok

1. Az {O₁,O₂,..,O_n}=¦(O,R_e)=O_C függvény által kifejezett műveletet, amely a nem üres O halmaz elemei között érvényes R_e ekvivalenciareláció szerint kölcsönösen egyértelműen egymáshoz rendeli az (O,R_e) párt és az O halmaz O_i (i=1,2,...,n) diszjunkt részhalmazait, valamint az O_C függvény kimenetét osztályozásnak, míg az O-t és annak minden R_e szerinti O_i részhalmazát ekvivalenciaosztálynak, ill. röviden csak osztálynak nevezem. O-ra és az O_i-kre nézve teljesülnek a következő állítások: (1) O_iÇO_j=Ø, ahol i,j=1,2,...,n és i¹j; (2) O_1ÈO_2È...ÈO_n=O; (3) az O halmaz két eleme akkor és csak akkor eleme ugyanazon O_i osztálynak, ha ekvivalens egymással az R_e szerint. Az R_e ekvivalenciarelációt osztályozási aspektusnak fogom nevezni.
2. Ha egy osztályt nem osztunk fel diszjunkt részekre, akkor végső, míg minden tovább osztott osztályát közbülső osztálynak nevezzük. Az eredeti, még fel nem osztott halmaz neve abszolút, míg a közbülső osztályé egyben relatív alaposztály.
3. Valamely osztályozás osztályain értelmezett mértékfüggvény (pl. mint az osztály elemeinek mennyisége, pénzbeli vagy más értéke, stb.) értékét, ha alap- vagy közbülső (relatív alap) osztályhoz tartozik, főösszegnek, ha végső osztályhoz tartozik, részösszegnek nevezzük.
4. Egy osztályozás szerkezete alatt azt értem, hogy az alaposztály mennyi és milyen osztályokra, főösszege pedig milyen részösszegekre bomlik.

5. Statikus osztálynak nevezem az olyan osztályt, amely elemként a (0;t] időintervallum valamely p. (p≤t és p,t=1,2,..) időpontjában az alaposztály e részében bennlévő vagy abból a p. időpontban vagy előbb elveszett elem(eke)t tartalmaz vagy tartalmazhatna az osztályozási aspektus szerint. Az ilyen vagyonosztályokat eredményező osztályozás neve statikus osztályozás, mely mindig egy p. időpontra vonatkozik.
6. Dinamikus osztálynak vagy másképp a (V) változások osztályának nevezem azt az osztályt, amely az (r;t] időintervallumba (0≤r<t és r,t egész szám) eső valamelyik időpillanatban az alaposztályba (ill. annak egy adott részébe) be- és/vagy további elem(ek)ként onnan kikerült eleme(eke)t (elemadagokat) tartalmaz, avagy az osztályozási aspektus szerint tartalmazhatna. Az ilyen osztályokra vezető osztályozás neve dinamikus osztályozás, mely mindig az elem(ek) [elemadag(ok)] alaposztályba való be- és/vagy kikerülése, másképp: a változások (az alaposztály elemösszességének, vagy részének növekedése és/vagy csökkenése), azaz az események kronológiája szerint alakul.
7. A C csökkenések osztálya az adott V változások osztályának az a részosztálya (CÍV), amely tartalmazza az (r;t] időintervallumban (0≤r<t és r,t egész) vagy előbb (pl. a (0;r] intervallumban) az alaposztályba bekerült és/vagy a V-ben az (r;t] intervallumban az alaposztályból kikerült elemként lévő tárgya(ka)t. Azonban az (r;t] intervallumban az alaposztályból kikerült x elem akkor és csak akkor lehet eleme a C-nek is, ha ugyanez az x elem be is került a V osztályba az (r;t] időintervallumban vagy előbb (pl. a (0;r] intervallumban).
8. Az E egyenlegosztály az (r;t] időintervallumban (0≤r<t és r,t egész) adott azonos aspektusú V változások és C csökkenések osztályának a V-C=E különbségosztálya. Jellemzője az E különbségosztálynak, hogy EÇC=Æ és EÈC=V. Továbbá: Mivel V-C=E, ezért E minden elemének megvan az a tulajdonsága, hogy az a t. időpontban bennlévő vagy hiányzó eleme a V-nek, ezért ezt az (r;t] intervallumhoz tartozó E egyenlegosztályt egyben a t. időponthoz tartozó statikus osztályként is értelmezzük, akkor és csak akkor, ha (a) r=0 azaz: ha a V-hez, C-hez és az E-hez tartozó időintervallum a (0;t], vagy (b) ha r≠0 akkor E egyenlegosztályként a (0;r] intervallum és az (r;t] intervallum egyenlegosztályának az unióját tekintjük.
9. Valamely O_D dinamikus osztályhoz illetve az O_S statikus osztályhoz tartozó fő- vagy részösszeg egyenlő az (r;t] időintervallumban (0≤r<t és r,t egész) az O_D osztályba be- és onnan kikerült, illetve a t. időpontban az O_S osztályban bennlévő és az onnan hiányzó tárgyak mennyiségének vagy pénzértékének (vagy ezek pozitív együtthatós lineáris transzformáltja értékének) a különbségével (másképp: egyenlegével).
10. Komplex vagy összetett dinamikus osztályozás alatt azt a dinamikus osztályozást értjük, amelyben az elemeket, az időaspektus mellett, más aspektus szerint is osztályozzuk. Ha például A₁ aspektus szerint is osztályozunk, akkor A₁-jellegű, ha A₂ aspektus szerint is osztályozunk, akkor A₂-jellegű összetett dinamikus osztályozásról beszélünk.

11. Transzformált (rész- és főösszegű) osztályozásoknak nevezem azokat az osztályozásokat, amelyek csak az azonos osztályukhoz rendelt egy vagy több részösszegükben és a főösszegben, valamint ezek egynemű mértékegységében, de legalább a mértékegységükben - valamely transzformáció szerint - különböznek, másban nem.
12. Kumulált^[8] részösszegű vagy kumulatív dinamikus osztályozás^[9] az olyan transzformált (fő- és részösszegű) dinamikus osztályozás, melynek minden n-edik osztályához (n=1,2,..,M) rendelt részösszege egyenlő az első n osztály kumuláció nélküli részösszegeinek összegével. Következésképp a főösszege az M-edik időaspektusú osztályhoz tartozó kumulált részösszeggel - s nem az első M kumulált részösszeg összegével - azonos.
13. Attribútum^[10] osztályozásnak nevezem a tisztán időaspektusú, valamint a tisztán statikus attribútum-aspektusú osztályozásokat, továbbá bármely idő-attribútum-aspektusú komplex dinamikus osztályozást - főösszege és részösszegei akár transzformáltak, akár nem. Eme osztályozás attribútum-osztályokat eredményez. Minden más osztályozást opcionálisnak nevezek.
14. Természetes osztályozásnak nevezem azt a történést, amikor egy esemény bekövetkezte meghatározza valamely osztály keletkezését vagy megváltozását. Az így létrejött vagy megváltozott osztályokat természetes osztályoknak nevezem. Az attribútum-osztályok természetes osztályok is egyben.
15. Osztályozási rendszer alatt egy adott statikus alaposztály és/vagy ezt az alaposztályt eredményező változások egy vagy több osztályozása és osztályai, valamint az ezen osztályokhoz tartozó fő- és részösszegek összességét értem.

16. Mérlegnek nevezzük azt az osztályozási rendszert, mely az alaposztály két különböző attribútum-aspektusú statikus osztályozását vagy az előbbiek mellett még az alaposztály dinamikus osztályozását is, avagy az idő-attribútum-aspektusú osztályozások mindegyikét (is) tartalmazza. A csak statikus osztályozásokból álló mérleget statikus, a csak dinamikus osztályozásokból állót dinamikus, a többit vegyes, azaz dinamikus és statikus mérlegnek nevezzük.
17. A mérlegbeli osztályozások főösszegeit mérlegfőösszegeknek, a végső osztályok részösszegeit mérlegrészösszegeknek nevezzük.

18. Kielégítően informatív valamely osztályozási rendszer, ha legalább az alaposztály statikus attribútum-aspektusú osztályozásait és a tiszta időaspektusú dinamikus osztályozását, vagy ha az összes idő-attribútum-aspektusú komplex dinamikus osztályozásait tartalmazza.

19. Zártnak nevezem az osztályozási rendszert az alaposztályában lehetséges változásokat hozó eseményekre nézve akkor és csak akkor, ha e lehetséges események bármelyikének bekövetkezésekor vannak az osztályozási rendszerben az esemény jellegének megfelelő olyan részösszegek, amelyek az esemény előtti állapotukhoz képest, az esemény tartalmának megfelelően, megváltoznak.

20. Egy osztályozási rendszert komplettnek nevezek, ha az kielégítően informatív és zárt az alaposztályában lehetséges változásokat hozó eseményekre nézve.

21. Lehetetlen esemény^[11] az olyan esemény, melynek bekövetkezte kapcsán olyan részösszegnek kellene előjelet váltani, amelynél az az érintett osztály avagy az esemény jellege miatt nem lehetséges.
22. Eseménykoordináták alatt az osztályozási rendszer (vagy részrendszer) osztályozásainak sorrendjében rendezett olyan adat-n-est vagy n elemű sorvektort (n³2) - részrendszer esetén (n³1) - értek, amely az elemei révén mutatja, hogy az esemény miatt a osztályozási rendszerben (vagy részrendszerben) mely végső osztályok részösszege és hogyan változik (nő vagy csökken).^[12]

23. Értelmes (másképp: reális) az olyan eseménykoordináta-n-es, amely a lehetséges esemény valamelyikének bekövetkezése kapcsán, az osztályozási rendszerben azokat és csakis azokat a végső vagyonosztályokat jelöli meg - maradéktalanul -, amelyeknek az esemény jellege és tartalma szerint meg kell változzon a részösszegűk.

24. Az osztályozási rendszer karakterisztikájának nevezem a rendszer azon végső osztályainak számát, amelyeknél egy esemény kapcsán, megváltozik a részösszeg.
25. Valamely osztályozási rendszer két osztályozása (egymástól) független a csak strukturális változással járó eseményekre nézve azért mert, ha egy ilyen esemény bekövetkezik, akkor csak az egyik osztályozás két végső osztályának részösszege - azonos abszolút értékben, de ellenkező előjellel - változik.
26. N-aspektusú, avagy explicit N-szeres (N³3) osztályozási rendszer alatt azt az osztályozási rendszert értem, amely adott időpontban legalább az alaposztály tiszta dinamikus (azaz idő-aspektusú), valamint a statikus attribútum-aspektusú osztályozásait együtt tartalmazza.
27. Implicit időaspektusú, vagy röviden implicit N-szeres (N³2) osztályozási rendszer alatt azt az osztályozási rendszert értem, amely egy meghatározott időpontban adott alaposztálynak legalább az idő-attribútum aspektusú komplex dinamikus vagyonosztályozásait mind együtt tartalmazza.
28. N "serpenyős", vagy másképp: N-szeres (N³2) mérlegnek nevezem az implicite N-szeres (N³2) vagy explicite N-szeres (N³3) osztályozási rendszert.

1. Bruttóvagyon alatt a gazdálkodó^[14] adott időpontban létező vagyonát^[15] alkotó vagyontárgyainak összességét vagy^[16] összes mennyiségét vagy összes pénzbeli értékét értjük.
2. Nettóvagyon (másképp: saját vagyon) alatt a gazdálkodó adott időpontban, azonos mértékegységben kifejezett bruttóvagyonának^[17] és adósságának^[18] (másképp: idegen vagyonának) a különbségét értjük.
3. Leltározásnak nevezzük a gazdálkodó adott időpontban fellelhető (létező) bruttó- és nettóvagyona, valamint adóssága/idegen vagyona individuumainak mennyiség és pénzérték, de legalább mennyiség szerinti teljes körű számbavételét.
4. Leltárnak nevezzük a leltározással nyert adatok összességét.

5. A vagyonosztályozás olyan osztályozás melynek abszolút alaposztálya vagy azonos a vagyontárgyak halmazával egy adott időpontban, vagy azonos egy adott időszakban bekövetkezett vagyonváltozások halmazával.

6. A gazdálkodás^[19] eszközének, röviden: eszköznek nevezzük a vagyon bármely tárgyát, ha osztályba sorolásakor tulajdonságai közül csak a fajtáját ill. gazdálkodásbeli rendeltetését vesszük tekintetbe, míg más tulajdonságától elvonatkoztatunk. Ezt az osztályozásnál figyelembevett tulajdonságot eszközaspektusnak nevezzük. Eszközök (eszközfajták) alatt azokat a természetes statikus vagy dinamikus attribútum vagyonosztályokat értjük, melyeknek minden eleme egy eszközaspektusnak megfelelő vagyontárgy, illetve az ilyen vagyontárgyak dinamikus vagyonosztályba való be- és/vagy onnan való kikerülése miatt létrejött vagyonváltozás.
7. Eszköz jellegű vagyonosztályozás alatt mindazokat a vagyonosztályozásokat értjük, amelyekben legalább eszközaspektus szerint osztályozunk.
8. Forrásnak, a vagyon forrásának vagy más elnevezéssel: az eszközökben testet öltő, a gazdálkodáshoz szükséges és annak révén gyarapodó vagy fogyó tőkének nevezzük a vagyon bármely tárgyát, ha osztályba sorolásakor azt a tulajdonságát vesszük csak figyelembe, hogy az a gazdálkodó saját tulajdona (saját vagyon) avagy másnak tartozik azzal (idegen vagyon), míg más tulajdonságától elvonatkoztatunk. Ezt az osztályozásnál figyelembevett tulajdonságot forrás- vagy tőkeaspektusnak nevezzük. Források vagy tőkék (forrás- vagy tőkefajták) alatt azokat a természetes statikus vagy dinamikus attribútum vagyonosztályokat értjük, melyeknek minden eleme egy forrás- vagy tőkeaspektusnak megfelelő vagyontárgy, illetve az ilyen vagyontárgyak dinamikus vagyonosztályba való be- és/vagy onnan való kikerülése miatt létrejött vagyonváltozás.
9. Forrásjellegű vagyonosztályozás alatt mindazokat a vagyonosztályozásokat értjük, amelyekben legalább forrásaspektus szerint osztályozunk.
10. Időaspektusú vagyonosztályozásnak (röviden: időosztályozásnak) nevezem az olyan természetes dinamikus attribútum vagyonosztályozást, amely az (r;t] intervallum t időpontjában (0≤r<t és r,t egészek) létező bruttóvagyonnak vagy valamely részének a változásait M darab (M=2,3...) diszjunkt végső időosztályba sorolja, a változások időpillanata szerint. Az időaspektusú attribútum vagyonosztályozásnál az osztályozandó vagyontárgy(ak) minden tulajdonságától elvonatkoztatunk, kivéve, hogy a vagyonba be vagy onnan ki az (r;t] intervallumban illetve annak valamely adott részintervallumában került(ek), azaz ekkor növeli(k) vagy csökkenti(k) a vagyont. Időosztályozáskor két vagyontárgy akkor és csak akkor kerülhet ugyanabba az intervallumba (időosztályba), ha a vagyonba való be- vagy abból való kikerülésük időpontja mindkettőnek ugyanabban az időosztályban van.
11. Adósságjellegű vagyonosztályozás alatt a forrásjellegű vagyonosztályozásnak azt a részét értjük, amelyben az adósságalosztályba tartozó vagyontárgyakat, azaz az idegen vagyon tárgyait másodlagosan nem időaspektus, hanem más aspektus szerint osztályozunk.

12. Alaptőkének vagy jegyzett tőkének (összefoglalóan kezdőtőkének) nevezzük a sajátvagyon azon végső természetes osztályának részösszegét, amely azt mutatja, hogy a gazdálkodó, a gazdálkodást mekkora bruttóvagyonnal kezdte. A módosításakor azt mutatja, hogy mennyi további vagyont kellet tőkeemelésként pótlólag és végleg befektetni, vagy mennyi vagyont lehetett nélkülözni és így tőkeleszállításként végleg kivonni a gazdálkodásból.
13. Tőketartaléknak nevezzük a sajátvagyon azon végső természetes osztályának részösszegét, mely azt mutatja, hogy a gazdaság tulajdonosa(i) vagy más(ok), mikor és mekkora további vagyont vont(ak) be véglegesen a gazdálkodásba, vagy vontak ki onnan - nem számítva a kezdőtőkét.
14. A t. időpontban (t=1,2,...) létező halmozott hozam (érték) alatt a gazdálkodás (0;t] időszakában elért sajátvagyonnövekmény értendő - nem értve ide a kezdőtőke és/vagy a tőketartalék növekményét. E sajátvagyon növekmény testet ölthet bármely pénzbevétel, kapott áru és/vagy szolgáltatás (barterügyletként^[20] is), vagy elismert követelés, továbbá a vagyon természetes szaporulata illetve adósságelengedés formájában. Ez a sajátvagyonnövekmény azonos a sajátvagyon nevű statikus relatív alaposztály halmozott hozam nevű végső természetes osztályának részösszegével - a t. időpontban.
15. Folyóidőszaki hozam alatt a tárgyidőszak és az előző időszak halmozott hozamának különbségét értjük.
16. A t. időpontban (t=1,2,...) fennálló halmozott ráfordítás (másképp: költség) alatt a gazdálkodás (0;t] időszakában bekövetkezett sajátvagyoncsökkenés értendő - nem értve ide a kezdőtőke és/vagy a tőketartalékok csökkenését. E sajátvagyoncsökkenés - azon belül a veszteség^[21] növekedése - testet ölthet bármely eszközfelhasználás, végleges pénzkiadás,^[22] adott áru, teljesített szolgáltatás, keletkezett kötelezettség, valamint a vagyon természetes fogyása illetve követelés elengedése formájában. Ez a sajátvagyoncsökkenés azonos a sajátvagyon nevű relatív alaposztály ráfordítás (költség) nevű végső természetes osztályának részösszegével - a t. időpontban.
17. Folyóidőszaki ráfordítás (költség) alatt a tárgyidőszak és az előző időszak halmozott ráfordításának (költségének) különbségét értjük.
18. A halmozott bruttó, vagy másképp halmozott adózatlan eredmény (röviden: halmozott eredmény) alatt a halmozott hozam és a halmozott ráfordítás (költség) algebrai összegét értjük.
19. A folyóidőszaki (éves, negyedéves, havi, stb.) bruttó, vagy másképp folyóidőszaki adózatlan eredmény (röviden: folyóidőszaki eredmény) alatt a folyóidőszaki hozam és a folyóidőszaki ráfordítás (költség) algebrai összegét értjük.
20. Ha a halmozott vagy a folyóidőszaki bruttó eredmény kisebb, mint nulla, akkor halmozott illetve folyóidőszaki veszteségnek, ha nagyobb, akkor halmozott illetve folyóidőszaki nyereségnek nevezzük.

21. Vagyonmérlegnek nevezzük azt a mérleget, amely két vagy több különböző, de legalább statikus eszköz- és forrás vagy dinamikus idő- valamint statikus eszköz- és forrás vagy idő-eszköz- és idő-forrás aspektusú vagyonosztályozást tartalmaz.

22. Klasszikus vagyonmérlegnek^[23] nevezzük a vagyon statikus, csak eszköz- és forrás vagyonosztályozású, pénzértékben kifejezett rész- és főösszegű mérlegét.
23. A gazdálkodó anyagi helyzete alatt bruttó- és nettó vagyona, valamint adóssága/idegen vagyona adott időpontbeli nagyságát, továbbá osztályai és részösszegei szerinti szerkezetét értjük.

24. Kielégítően informatívnak nevezem a vagyonosztályozási rendszert, ha az a gazdálkodó adott időpontbeli anyagi helyzetét és legalább bruttóvagyonának ezen időpontig tartó időbeli változásait időaspektusú vagyonosztályozása révén mutatja.
25. Gazdálkodóra jellemző vagy másképp: gazdálkodóspecifikus gazdasági események^[24] alatt adott gazdálkodó vagy gazdálkodótípus gazdasági tevékenysége (gazdálkodása), valamint gazdasági és/vagy társadalmi-természeti környezete hatására gazdaságában bekövetkezett gazdasági eseménytípusok összességét értem.

26. Zártnak nevezem a gazdálkodóspecifikus gazdasági eseményekre nézve a gazdálkodó vagyonosztályozási rendszerét akkor és csak akkor, ha a gazdálkodóspecifikus gazdasági események bármelyikének bekövetkezésekor vannak a vagyonosztályozási rendszerben az esemény jellegének megfelelő olyan részösszegek, amelyek az esemény előtti állapotukhoz képest, az esemény tartalmának megfelelően, megváltoznak.
27. Egy vagyonosztályozási rendszert komplettnek nevezek, ha az kielégítően informatív és zárt a gazdálkodóspecifikus gazdasági eseményekre nézve.

28. N-aspektusú, avagy explicit N-szeres (N³3) vagyonosztályozási rendszer alatt azt a vagyonosztályozási rendszert értem, amely meghatározott időpontban adott bruttóvagyonnak legalább az egyszerű dinamikus (azaz idő-), valamint a statikus eszköz- és a statikus forrásaspektusú vagyonosztályozásait együtt tartalmazza.
29. Implicit időaspektusú, vagy rövidebben implicit N-szeres (N³2) vagyonosztályozási rendszer alatt azt a vagyonosztályozási rendszert értem, amely egy meghatározott időpontban adott bruttóvagyonnak legalább az idő-eszköz és az idő-forrás aspektusú komplex dinamikus vagyonosztályozásait együtt tartalmazza.
30. N "serpenyős" vagy másképp: N-szeres (N³2) vagyonmérlegnek nevezem a bruttóvagyon implicite N-szeres (N³2) vagy explicite N-szeres (N³3) vagyonosztályozási rendszerét.

31. (Valódi) dinamikus vagyonmérlegnek nevezem az implicite időaspektusú, másképp implicite N-szeres (N³2) vagyonosztályozású mérleget, míg az explicite N-szeres (N³3) vagyonosztályozású mérleg neve legyen dinamikus és statikus vagyonmérleg.

1. Ha valamely időpontban egy eszközaspektusú statikus vagyonosztály nem üres, azaz: van benne egy vagy több vagyontárgy, akkor és csak akkor az osztály vagyontárgyak mennyiségét^[26] kifejező fő- vagy részösszege nagyobb, mint nulla (A₁).

P.^[27]: 1./T₁.

2. Ha egy adott időpontban valamely statikus osztály üres, akkor és csak akkor az osztály fő- vagy részösszege egyenlő nullával. (A₂).

P.: 1./T₃,T₄,T₅,T₇,T₁₁,T₁₂,T₁₃,T₁₄,T₁₈,T₁₉,T₂₁,T₂₃,T₂₄,T₂₉.

3. Bármely dolog pénzbeli értéke, azaz egységára, csak pozitív szám^[28] lehet (A₃).

P.: 1./T₁.

4. Ha egy osztályozás páronként diszjunkt osztályain valamely mértékfüggvény^[29] (vagy annak pozitív együtthatós lineáris transzformáltja) értelmezett, akkor e függvény által a végső osztályokhoz rendelt részösszegek összege egyenlő az alaposztályhoz rendelt főösszeggel (A₄).

P.: 1./T₁, T₁₁, T₁₆, T₁₉, T₂₈.

5. Legyen V a változások dinamikus osztálya, C a V-nek megfelelő csökkenések dinamikus osztálya és E ezek dinamikus különbség (vagy egyenleg) osztálya (V-C=E) a (0;t] időintervallumban (t=1,2,..). Továbbá legyen E' a V-beli változások eredményeként létrejött statikus osztály a t. időpontban, melyre áll, hogy E'=E. Ekkor a (0;t] időintervallumban a V változás-osztályban az események kapcsán történt változások (növekedések és/vagy csökkenések) különbsége (vagy: ha a csökkenések negatív előjelűek, akkor algebrai összege), azaz a V-C=E főösszege egyenlő a t. időpontbeli E' statikus osztályhoz tartozó összeggel - legyen az akár fő- akár részösszeg (A₅).^[30]

P.: 1./T₁₁, T₁₆, T₂₇, T₂₈.

6. Egy (abszolút vagy relatív) alaposztálynak nincs két azonos osztályozása (A₆).

P.: 1./ T₁, T₁₆, T₁₇, T₁₈.

7. Ha a gazdálkodó magára hagyja a vagyonát vagy annak bármely részét, akkor annak nagysága és pénzértéke, de legalábbis a pénzértéke (vagy más pozitív együtthatós lineáris transzformáltjának értéke) - a természeti és/vagy társadalmi és/vagy gazdasági környezet által kiváltott gazdasági események hatására - az idő múlásával monoton csökkenve tart a nullához (A₇).

P.: 1./T₁₅, T₁₇, T₂₉.

1.122 Az adósság axiómái

8. Ha a gazdálkodónak valamely időpontban van vagyona, akkor van - azonos mérték szerinti - azzal egyenlő vagy nem egyenlő nagyságú adóssága is; viszont ha nincs vagyona, akkor vagy adóssága sincs, vagy csak adóssága van - és más eset nem lehetséges (A₈).

P.: 1./T₃, 3./T₁, T₃, T₄.

9. Az adós gazdálkodónak van hitelezője és adóssága, mellyel a hitelezőjének tartozik, hitelezőjének pedig van követelés formájában lévő vagyona, melyet adósától követelhet (A₉).

P.: 1./T₂, 3./T₁, T₃, T₄.

10. Az adós adott időpontban létező adóssága egyenlő hitelezőjének vagy hitelezőinek vele szemben ugyanakkor fennálló - az adós által elismert - összes követelésével (A₁₀).

P.: 1./T₂.

11. Ha a gazdálkodó magára hagyja a vagyonát vagy annak bármely részét, akkor adósságának mértéke - a természeti és/vagy társadalmi és/vagy gazdasági környezet által kiváltott gazdasági események hatására - az idő múlásával monoton növekedve tart a plusz végtelenhez (A₁₁).

P.: 1./T₁₅, T₁₇.

1.123 Gazdasági és általános esemény-axiómák

12. Gazdasági esemény csak a gazdálkodó gazdasági tevékenységének vagy gazdasága természeti-, társadalmi- ill. gazdasági környezetének hatására következik be (A₁₂).

P.: 1./T₁₅, T₁₉.

13. Ha valamely esemény megtörtént, akkor ismert legalább: (1) annak megnevezése, akivel/amivel az esemény törtét (2) az esemény időpontja, (3) az esemény neve vagy leírása, melyből a az érintett osztályozási rendszerben megváltozó részösszegű végső osztályokra lehet következtetni, (4) a változás mennyisége és/vagy pénz- vagy más értéke (vagy ezek más pozitív együtthatójú lineáris transzformáltjának értéke) (A₁₃). Ezt az alaptételt (axiómát) az esemény-attribútumok törvényének fogom nevezni.

P.: 1./T₁₅, T₁₉, T₂₈.

14. Az eseményeknek a megváltozó részösszegekhez - időosztályokon kívül - tartozó végső osztályokat és a változásuk jellegét megjelölő adata (azaz az esemény "megnevezése" vagy leírása) és az esemény koordinátái, jelentésüket tekintve ekvivalensek és kölcsönösen egyértelműen megfelelnek egymásnak (A₁₄).

P.: 1./T₁₉, 2./T₇.

15. Valamely t. időpontban (t=1,2,...) bekövetkezett gazdasági esemény kapcsán az érintett vagyonosztályozás [a] egyetlen végső vagyonosztályának részösszege nő, vagy [b] csökken egy DX>0 összeggel (a csökkenésre - jelölje c - áll: c=-DX<0), vagy [c] egyik végső vagyonosztályának részösszege egy DX>0 összeggel csökken, míg egy másiknak a részösszege ugyanezen DX>0 összeggel nő^[31] (a [c] esetben nevezzük az eseményt csak struktúraváltó vagy röviden kompenzatív gazdasági eseménynek). Más jellegű elemi vagyonváltozás, gazdasági esemény kapcsán, nem lehetséges (A₁₅).

P.: 1./T₉, T₁₉. 3./T₆.

16. A gazdasági események között vannak olyanok, amelyek nem érintik a gazdálkodó pénzeszközeit (A₁₆).

Fontos sajátja az itt következő vagyonelméleti tételek bizonyításának az, hogy ezekben - noha a könyvvitel vagyonelméletéről van szó - nem hivatkozom semmiféle könyvviteli szabályra. Ez ugyanis alapvető stratégiai célom a könyvvitel vagyonelméletének felépítésekor, mert csak így lehet meggyőzően kimutatni, hogy az anyagi helyzetet meghatározó fő tényezők, a vagyon és az adósság, illetve ezek időben végbemenő mennyiségi változásának jellege határozza meg a könyvvitel jellegét és nem fordítva, valamint azt, hogy a vagyon- és könyvvitelelmélet nem más, mint sajátos tárgyú matematika.

Sajátossága még e bizonyításoknak az is, hogy a vagyonosztályozások és a vagyonosztályokon értelmezhető függvények (a vagyon mennyisége, pénzértéke, ezek változása, stb.) egzisztenciájának biztosítása mellett, az elméletrendszer felépítésénél, a tételek megfogalmazásánál és bizonyításuk - néha aprólékos - módjánál a tudományos szabatosság iránti igénnyel egyenrangúak voltak a didaktikai megfontolások is. Ilyen didaktikai szempontok nélkül több tétel bizonyítása nyilvánvalóan lényegesen rövidebb és egyszerűbb lehetne.

1. Tétel: A t. időpontban (t=1,2,...) létező bruttóvagyon, illetve annak bármely eszközaspektusú statikus vagyonosztályában lévő része mennyiségét és pénzértékét (vagy más jellemzője mértékét) csak pozitív számmal^[33] fejezhetjük ki (formulával: V>0, avagy másképp jelölve: V_BR=J_i>0, ahol J_i>0 a különböző fajta javak egy eszközaspektusú, statikus, nem üres végső osztályának részösszege, minden i-re - a t időpontban) (T₁).

A feltétel alapján a gazdálkodónak a leltár és/vagy a könyvek szerint a t-ik időpontban (t=1,2,...) van vagyona^[34]. E vagyontárgyak legyenek maradéktalanul besorolva eszközaspektus (avagy vagyonfajta) szerint az A₆ axiómának megfelelően i különböző (i=1,2,..,n) statikus végső vagyonosztályba. Jelölje e bruttóvagyont alkotó javak osztatlan és nem üres halmazát (azaz az osztályozandó abszolút alaphalmazt) O, s az egyes vagyontárgyak fajtáinak - szintén nem üres - diszjunkt végső eszközosztályait O₁,O₂,...O_i,...O_n.

Most rendeljük az egyes végső vagyonosztályokhoz külön-külön, a t-ik időpontban a vagyonosztályokba sorolt vagyontárgyak q_i mennyiségét és é_i pénzértékét, mint e vagyonosztályozás osztályain értelmezett függvények értékét. Jelölje tehát a vagyontárgyak mennyiségét O_i függvényeként, vagyonfajtánként (azaz végső vagyonosztályonként) q_i(O_i). E mennyiségek teljes összegét, a természetes mértékegységeiktől^[35] és a t időponttól elvonatkoztatva, jelölje:

q₁(O₁)+q₂(O₂)+...+q_i(O_i)+...+q_n(O_n)=q_i(O_i), míg az osztályozás mennyiség szerinti főösszegét O függvényeként (O). A vagyonfajták azonos pénznemben beárazott mennyiségeinek értékét jelölje é_i(O_i), s ezek összegét

é₁(O₁)+é₂(O₂)+...+é_i(O_i)+...+é_n(O_n)=é_i(O_i), az érték szerinti főösszeget pedig (O).

p₁(O₁),p₂(O₂),...,p_i(O_i),...,p_n(O_n).

Mármost, az A₁ axióma szerint a nem üres eszközaspektusú i. végső vagyonosztályban (i=1,2,...,n) a t. időpontban létező vagyontárgyak mennyiségét kifejező q_i(O_i) részösszeg csak pozitív szám lehet. De az i. osztályhoz tartozó p_i(O_i) egységár szintén csak pozitív szám lehet (A₃ axióma). Viszont ekkor a q_i(O_i)∙p_i(O_i)=é_i(O_i) (i=1,2,...,n) szorzat is csak pozitív szám lehet, mert pozitív számok szorzata pozitív.

Mindebből következik, hogy q_i(O_i),p_i(O_i),q_i(O_i)∙p_i(O_i)=é_i(O_i)>0^[36] (i=1,2,...,n), valamint mert a pozitív számok összege pozitív, ezért q_i(O_i)>0 és é_i(O_i)>0.

Továbbá az A₄ axióma szerint: "Ha egy vagyonosztályozás páronként diszjunkt osztályain valamely mértékfüggvény^[37] (vagy annak pozitív együtthatós lineáris transzformáltja) értelmezett, akkor e függvény által a végső osztályokhoz rendelt részösszegek összege egyenlő az alaposztályhoz rendelt főösszeggel." Ekkor igaz a következő két összefüggés:

(O)=q₁(O₁)+...+q_i(O_i)+...+q_n(O_n)=q_i(O_i),

(O)=é₁(O₁)+...+é_i(O_i)+...+é_n(O_n)=q_i(O_i)∙p_i(O_i)=é_i(O_i).

Ugyanakkor mert (O)=q_i(O_i) és q_i(O_i)>0 igaz, valamint mert (O)=é_i(O_i) és é_i(O_i)>0 is igaz, ebből következik, hogy (O)>0 és (O)>0 is igaz.

(O)=q₁(O₁)+...+q_i(O_i)+...+q_n(O_n)=q_i(O_i)>0 és

(O)=é₁(O₁)+...+é_i(O_i)+...+é_n(O_n)=q_i(O_i)∙p_i(O_i)=é_i(O_i)>0,

Mindebből pedig az (1), (2), (3) és (4) összefüggés, s általuk a tétel igaz volta adódik. Q.e.d.

P.^[38]: 1./T₂, T₃, T₄, T₅, T₆, T₇, T₈, T₉, T₁₁, T₁₂, T₁₄, T₁₅, T₁₆,

K.^[39]: 1./A₁, A₃, A₄, A₆.

2. Tétel: Ha a t. időpontban (t=1,2,....) a gazdálkodónak van adóssága (idegen vagyona), akkor annak a bruttóvagyon forrásaspektusú statikus relatív alaposztályában, az idegenvagyon osztályban, illetve annak bármely alosztályában lévő mennyiségét és pénzértékét (vagy más jellemzője mértékét) csak pozitív számmal fejezhetjük ki (A=A₁+A₂+...+Aj+...+A_N>0, ahol A_j>0, a különböző fajta adósságok egy végső statikus osztályának részösszege, minden j-re) (T₂).

Legyen G₀ az a gazdálkodó, akinek a feltététel szerint - pl. a leltár alapján - a t. időpontban (t=1,2,..) van adóssága. Jelölje adóssága mértékét (azaz a statikus adósságosztály főösszegét) - jelölésben elvonatkoztatva most is a t. időponttól - A₀.

Mutassuk meg, hogy A₀>0.

Minthogy a G₀ gazdálkodónak van adóssága, ezért szükségképpen van neki hitelezője A₉ szerint. Legyen ez a hitelező, pl. most egyedül a G₁ gazdálkodó, akinek tartozik A₀-al G₀. Mivel G₁ hitelezője G₀-nak, ezért G₁-nek (azonos dimenzióban^[40] számszerűsítve) az A₀ adóssággal megegyező mértékű (K₁=A₀) elismert K₁ követelése kell legyen G₀-al szemben. Az A₁₀ szerint ugyanis az adós adóssága egyenlő hitelezőjének (vagy hitelezőinek) vele szemben fennálló összes, elismert követelésével. Tehát G₁ bruttóvagyonának (V₁) egy része, vagy egésze a G₀-al szembeni követelés (K₁) formájában ölt testet (A₁₀), azaz fennáll: K_1£V₁ (ld. T₂ ábra).

Ámde a T₁ tételből tudjuk, hogy a t. időpontban létező bruttóvagyon és az eszközaspektusú statikus vagyonosztályaiba tartozó részeinek mennyisége, illetve pénzértéke csak pozitív számmal fejezhető ki, következésképpen G₁ bruttóvagyona V₁>0, és ez vonatkozik e vagyon bármely eszközaspektusú nem üres vagyonosztálya részösszegére, így a követelésére is. Azaz: K₁>0 is igaz. Mivel K₁>0 és K₁=A₀, ezért ebből közvetlenül folyik A₀>0 volta.

Azonos gondolatmenet alapján megmutatható, hogy a pozitivitás fennáll az A₀ adósság minden nem üres végső osztályába tartozó adósságfajták^[41] részösszegeire is, azaz: A_0,1+..+A_0,j+..+A_0,N=A₀>0, ahol A_0,j>0 egy a végső és nem üres statikus adósságosztály részösszegei közül.

P.: 1./T₃, T₄, T₅, T₁₁, T₁₂, T₁₃, T₁₄, T₁₅, T₂₁, T₂₉.

K.: 1./A₉, A₁₀, T₁.

3. Tétel. Lemma^[43]: A gazdálkodó vagyonának nagyságát jelölje V, adósságának előbbivel azonos mértékegységben kifejezett nagyságát jelölje A. Ekkor a V-A különbség a t. időpontban (t=1,2,....) lehet nagyobb vagy kisebb, mint nulla, vagy egyenlő nullával, azaz: V-A0 (T₃).

A t. időpontban (t=1,2,...) a gazdálkodó bruttó vagyonának nagyságát (azaz: eszközaspektusú statikus vagyonosztályozásának főösszegét) jelölje a V változó (V³0 T₁ és A₂ szerint). Ugyancsak a t. időpontban, a gazdálkodó V-vel azonos dimenzióban^[44] számszerűsített adósságának nagyságát (azaz: az adósság statikus relatív alaposztálya főösszegét) jelölje az A változó (A³0 T₂ és A₂ szerint) - a jelölésben elvonatkoztatva t-től. E jelölésekkel a tételt felírva, azt kell megmutatni, hogy a t. időpontban: V-A0.

A V³0 és az A³0 számokkal kifejezett vagyon illetve adósság nagyságára A₈ szerint igaz, hogy vagy V>A vagy V=A vagy V<A, azaz együtt: VA.

Most e reláció mindkét oldalából A-t elvéve közvetlenül folyik, hogy a V-A0 formulával felírt tétel igaz.

P.: 1./T₄, T₂₉.

K.: 1./A₂, A₈, T₁, T₂.

4. Tétel: A t. időpontban (t=1,2,....) adott nettó vagyon mértéke, mint a nem negatív bruttóvagyon forrásaspektusú relatív alaposztályának főösszege bármilyen előjelű szám lehet (V_NE0) (T₄).

Legyen V_NE=V_S a gazdálkodó nettó (vagy saját) vagyonának, V (V³0; T₁,A₂) a bruttóvagyonának, A pedig (A³0; T₂,A₂) az adósságának nagyságát a t. időpontban (t=1,2,...) azonos mértékegységben kifejező változó. Azt kell megmutatnunk, hogy a t. időpontban V_NE=V_S 0 - mellőzve az időpont jelölését.

Mármost T₃ szerint V-A0. Mivel a vonatkozó definíció szerint a V-A különbséget nettó vagyonnak nevezzük, itt pedig V_NE-val jelöljük, ezért V_NE=V-A. De V-A0 ezért igaz, hogy V_NE=V_S 0.

Megjegyzés: Ha valamely t. időpontban V_NE=V_S=0, akkor a hozzá tartozó O_S sajátvagyon osztály üres (A₂ szerint) és nyilván V_BR=V_I. Viszont ha V_S>0, akkor van(nak) O_S-nek eleme(i) a t. időpontban, ez(ek) a vagyon forrásaspektus szerint osztályozott eme részében lévő vagyontárgy(ak). Ha pedig a t. időpontban V_S<0, akkor O_S eleme(i) a V_BR nagyságú bruttóvagyonból a t. időpontban hiányzó azon vagyontárgy(ak) - e hiányzó rész nagyságát jelölje DV_BR -, melyek a V_I nagyságú adósság megfizetéséhez még kellenek a V_BR vagyonmennyiségen felül. Azaz: ha DV_BR=-V_S, akkor nyilván V_BR+DV_BR=V_I. Éppen e vagyonhiányt érzékelteti ekkor a V_S<0, a vonatkozó definíció szerint.

P.: 1./T₅.

K.: 1./A₂, T₁, T₂, T₃

5. Tétel: A t. időpontban (t=1,2,....) a nem negatív bruttóvagyon forrásaspektusú felosztásával keletkező két statikus alosztály közül a saját vagyonosztály főösszege bármilyen előjelű szám lehet (V_S0) a bruttóvagyon és az idegenvagyon nagysága függvényében, az idegen vagyonosztály főösszege pedig csak nem-negatív szám (V_I³0) lehet, miközben V_S+V_I³0 (T₅).

Bármely t. időpontban (t=1,2,..) a bruttóvagyon nagyságát kifejező V_BR és az adósság (másképp: az idegen vagyon) nagyságát kifejező V_I változó értéke nem-negatív (T₁, T₂, A₂ szerint). Ha a V_BR bruttóvagyonból kivonjuk a V_I adósságot, akkor a V_NE=V_S nagyságú nettó- illetve saját vagyont kapjuk (T₄ szerint) - szintén a t. időpontban. Azaz írhatjuk:

(1) V_BR-V_I=V_S, majd ezt átrendezve, hogy:

(2) V_BR=V_S+V_I.

Először azt kell megmutatni, hogy V_S+V_I³0 bármely t. időpontban.

Minthogy V_BR³0 bármely t. időpontban (T₁ és A₂ szerint), ezért írható, hogy

(3) V_BR=V_S+V_I³0 - bármely t. időpontban.

Ez után azt kell megmutatni, hogy V_S0 és V_I³0 miközben a feltétel és (3) szerint V_BR=V_S+V_I³0 (bármely t. időpontban).

Mivel V_S=V_NE0 és (1) szerint V_BR-V_I=V_S, ezért írhatjuk azt, hogy

(4) V_BR-V_I=V_S0, azaz

(5) V_BR-V_I0, vagyis: (6) V_BRV_I, miközben V_BR³0 és V_I³0 igaz (bármely t. időpontban).

Az A₈ axiómából pedig tudjuk, hogy vagy (a) V_BR>V_I vagy (b) V_BR=V_I vagy (c) V_BR<V_I miközben mindkettő nem-negatív. Következésképpen (4), (5) és (6) igaz (3) mellett úgy, hogy (a), (b) és (c) is igaz, hiszen V_BR-nak és V_I-nek nincs felső korlátja, azaz bármilyen nagy számok lehetnek, csak a 0 alsó korlátjuk létezik. Ezért pl. ha V_BR=0 akkor V_I=-V_S (miközben V_I³0) vagyis ekkor a saját vagyon abszolút értékben azonos az idegen vagyonnal, de V_S≤0.

Tehát igaz, hogy V_S0 és V_I³0 miközben V_BR=V_S+V_I³0 (bármely t. időpontban).

P.: 1./T₁₁, T₁₅, T₂₉.

K.: 1./A₂, A₈, T₁, T₂, T₄.

6. Tétel: A t. időpontban (t=1,2,...) a nettó vagyon induló, ill. jegyzett tőke nevű forrásaspektusú statikus végső osztályába tartozó tőke összege (T) csak pozitív szám lehet. (T>0) (T₆).

Jelölje a nettó vagyon kezdőtőke osztályának részösszegét T. Azt kell megmutatnunk, hogy T>0.

A kezdőtőke összege a definíció szerint azt mutatja, hogy a gazdálkodás kezdő időpontjában, illetve e tőkefajta módosításakor mekkora a gazdálkodó végleg - pénzben vagy bármely más vagyontárgy formájában^[45] - gazdaságába befektetett vagyona.

A gazdálkodó fektessen be hát gazdaságába pl. pénzt és egy ingatlant a gazdálkodása kezdetén, mint a kezdő vagyon tárgyait. Jelölje ennek az eszközaspektus szerinti kezdő vagyonnak a teljes nagyságát V. Ugyanakkor a kezdőtőke definíciója szerint fennáll: T=V (T és V mértékegysége azonos). De a T₁ értelmében V>0, így T=V>0, s ezért T>0.

A módosított kezdőtőke értékét jelölje T'.

Tőkeemelés esetén a bevitt többletvagyon nagysága: DV>0 (T₁). A tőketöbbletet jelölje DT. A kezdőtőke definíciója szerint DT=DV, viszont DT=DV>0 (T₁ értelmében), ezért DT>0. (DT és DV mértékegységeik azonosak). Az emelt kezdőtőke értéke T'=T+DT. De T>0 és DT>0, tehát T'>0.

Tőkeleszállításnál legyen T'=T-DT, ahol DT a T-nél kisebb, de nullánál nagyobb (0<DV=DT<T) vagyonnal egyenlő tőkenagyság (T₁), mellyel leszállítjuk (azaz csökkentjük) T összegét.

P.: 1./T₁₁, T₁₂, T₁₄.

K.: 1./T₁.

7. Tétel: A t. időpontban (t=1,2,....) a nettó vagyon tőketartalék nevű statikus osztályához tartozó részösszeg (T_R) csak nulla vagy nullánál nagyobb szám lehet. (T_R³0) (T₇).

A tőketartalék összegét jelölje T_R. Azt kell megmutatnunk, hogy T_R³0.

Ez a tőkeösszeg a definíció szerint azt mutatja meg, hogy a gazdaság tulajdonosa(i) vagy mások, mikor és mekkora további vagyont vont(ak) be véglegesen a gazdálkodásba, vagy vontak ki végleg a gazdálkodásból - az alaptőkén felül.

Legyen a tartalékba helyezett vagyontárgy pénz és/vagy más dolog. Jelölje ezt a t. időpontban (t=1,2,...) tartalék címén bevont eszközaspektusú bruttóvagyonrész mértékét V_R. A definíció szerint tehát T_R=V_R (T_R és V_R egyneműek). De a T₁ tétel szerint V_R>0, ha van bevont vagyon. Ekkor tehát írható: T_R=V_R>0, ezért fennáll: T_R>0.

Viszont, ha még nincs - vagy már nincs - bevont, tartaléknak szánt vagyon, azaz az osztály üres, akkor T_R=V_R=0 (A₂).

P.: 1./T₇/C, T₁₁, T₁₂, T₁₄.

K.: 1./A₂, T₁.

K.: 1./T₇.

8. Tétel: A t. időpontban (t=1,2,....) a nettó vagyon statikus halmozott eredményosztályának statikus halmozott hozamalosztályához tartozó részösszeget, mint a t. időpontban létező halmozott hozam mennyiségét és pénzértékét (vagy más jellemzője mértékét) csak pozitív számmal fejezhetjük ki (H>0) (T₈).

A gazdálkodó, a t-ik időponttal bezárólag (t=1,2,...) érjen el H mértékű hozamot. Azt kell megmutatnunk, hogy ekkor H>0.

A H (halmozott) hozam alatt - a definíció szerint - a gazdálkodás (0;t] időszakában (t=1,2,...) elért sajátvagyonnövekmény értendő - nem értve ide a kezdőtőke és/vagy a tőketartalék növekményét. E sajátvagyon növekmény testet ölthet bármely pénzbevétel, kapott áru és/vagy szolgáltatás (barterügyletként is), vagy elismert követelés, továbbá a vagyon természetes szaporulata illetve adósság-elengedés formájában. Ez a sajátvagyonnövekmény - a t. időpontban - azonos a sajátvagyon nevű statikus relatív alaposztály halmozott hozam nevű végső osztályának részösszegével.

Öltsön tehát testet ez a sajátvagyontöbblet - egy gazdasági esemény kapcsán -, mondjuk azonnali készpénzbevétel formájában, s jelölje e pénz mennyiségét B. Ekkor a definíció alapján H=B (H és B egyneműek). De T₁ alapján a vagyon és bármely részének mennyisége/értéke csak pozitív szám lehet. B, mint készpénztöbblet (készpénznövekmény), szintén az eszközaspektusból tekintett vagyon része, tehát B>0 (T₁). Következésképpen írható, hogy B=H>0.

Hasonlóképp lehet megmutatni, hogy, ha a hozam pl. követelésben (melyet csak esedékességkor egyenlítenek majd ki), vagy G₀ adóssága elengedésével sajátvagyonává váló eszközökben, vagy - barterügylet eredményeként - áruban, avagy szolgáltatásban, stb. ölt testet, a tétel akkor is igaz.

P.: 1./T₈/C, T₁₁, T₁₂, T₁₄.

K.: 1./T₁.

K.: 1./T₈.

9. Tétel: A t. időpontban (t=1,2,....) a nettó vagyon statikus eredményosztályának statikus ráfordítás (költség) nevű alosztályához tartozó részösszeget, mint a t. időpontban létező ráfordítás (költség) mennyiségét és pénzértékét (vagy más jellemzője mértékét) csak negatív számmal fejezhetjük ki (R<0) (T₉).

A gazdálkodó gazdaságában, a t-ik időpontig bezárólag (t=1,2,...) bekövetkezett gazdasági esemény(ek) kapcsán, keletkezzen R számértékű ráfordítás (költség). Azt kell megmutatnunk, hogy a nem üres ráfordításosztályhoz tartozó R részösszeg kisebb, mint nulla (R<0).

A t. időpontban (t=1,2,...) létező R számértékű ráfordítás (költség) alatt - definíciója szerint - a gazdálkodás (0;t] időszakában bekövetkezett sajátvagyoncsökkenés értendő - nem értve ide a kezdőtőke és/vagy a tőketartalékok csökkenését. E sajátvagyoncsökkenés - azon belül a veszteség^[46] növekedése - testet ölthet bármely eszközfelhasználás, végleges pénzkiadás,^[47] adott áru, teljesített szolgáltatás, keletkezett kötelezettség, valamint a vagyon természetes fogyása illetve követelés elengedése formájában. Ez a sajátvagyoncsökkenés azonos a sajátvagyon nevű relatív alaposztály ráfordítás (költség) nevű végső osztályának részösszegével - a t. időpontban.

Most a sajátvagyoncsökkenés öltsön testet például valamely igénybevett szolgáltatás ellenértékének megfizetéseként jelentkező azonnali készpénzkiadás formájában - mely az A₁₅ axióma szerint csökkenti a létező P' pénzkészletet. De P'>0 a T₁ tétel alapján. Ámde, ha a ráfordítás valamely P'-nél nem nagyobb P>0 (T₁) pénzadag kiadását jelenti, akkor P-t le kell vonni (el kell venni) P'-ből. Következésképp e pénzkiadás mint negatív szám csökkenti a pozitív előjelű P' pénzkészletet (az A₁₅ axióma szerint). Ezért jelölje e kiadott készpénzmennyiséget -P, amely a ráfordítás említett definíciója szerint egyenlő R-el, azaz fennáll R=-P (R és P azonos mértékegységű). Viszont -P<0, következésképp: R=-P<0, azaz -P=R<0.

Hasonlóképp meg lehet mutatni: ha a ráfordítás (költség) más vagyontárgyban - pl. barterügylet eredményeként - átadott áruban vagy teljesített szolgáltatásban, avagy a gazdálkodó által elengedett, mással szembeni követelésben ölt testet, vagy később esedékes adó- vagy bérfizetési kötelezettséget, stb. kiegyenlítő kiadásban, a tétel akkor is igaz.

P.: 1./T₈/C, T₁₀, T₁₁, T₁₂.

K.: 1./A₁₅, T₁.

K.: T₉.

10. Tétel: Ha a t. időpontban (t=1,2,....,) a halmozott ill. a folyóidőszaki hozam kisebb, mint a vele egynemű halmozott ill. folyóidőszaki ráfordítás abszolút értéke, akkor a t. időpontban létező halmozott ill. folyóidőszaki bruttó eredmény neve veszteség (E<0), ha nagyobb, akkor nyereség (E>0) - értelemszerűen mindkettő halmozott ill. folyóidőszaki (T₁₀).

Jelölje H a halmozott ill. a folyóidőszaki hozam mértékét, R a hozammal egynemű halmozott ill. folyóidőszaki ráfordításét, |R| az előbbi abszolút értékét, E pedig a halmozott ill. folyóidőszaki eredmény, előbbiekkel egyneműen kifejezett számértékét a t-ik időpontban (t=1,2,...). A továbbiakban az egyszerűség érdekében, akár halmozott, akár folyóidőszaki értékről van szó, csak hozamot, ráfordítást és eredményt említek, melyek mindig azonos időszakra vonatkoznak - a halmozott vagy a folyóidőszaki jelző nélkül - ez megtehető.

Az a) eset feltétele szerint: H<|R|. De H-|R|<|R|-|R|, viszont |R|-|R|=0 és ezért H-|R|<0. Ugyanakkor T₉ szerint R<0 és ezért |R|=-R. Így írhatjuk, hogy: H-|R|=H-(-R)=H+R<0.

Mármost a halmozott és folyóidőszaki eredmény definíciója és a bevezetett jelölések értelmében H+R=E, ezért a H+R<0 bal oldalára E írható, s így: E<0. Ebből viszont az időszaki veszteség definíciója alapján folyik, hogy az E<0 halmozott ill. folyóidőszaki eredmény neve halmozott ill. folyóidőszaki veszteség.

A b) eset feltétele szerint H>|R|. De ekkor elegendő, ha az a) esetbeli levezetés minden lépésében és a végeredményében kisebbről nagyobbra váltjuk a reláció jelét. Így azonnal adódik: E>0. Ebből viszont az időszaki nyereség definíciója alapján közvetlenül folyik, hogy az E>0 halmozott ill. folyóidőszaki eredmény neve halmozott ill. folyóidőszaki nyereség.^[48]

K.: 1./T₉.

K.: 1./T₁₀.

11. Tétel: A bruttóvagyon vagy valamely része eszköz vagy forrás aspektus szerinti statikus vagyonosztályához a t. időpontban (t=1,2,...) tartozó fő- ill. részösszeg egyenlő e vagyont (illetve vagyonrészt) eredményező (0;t] időintervallumbeli vagyonváltozások időosztályaihoz tartozó részösszegek összegével, amely csak nem negatív szám lehet, kivéve a sajátvagyon- és az eredményosztály részösszegét, mely bármilyen előjelű szám, valamint a ráfordításosztály részösszegét, amely csak nem pozitív szám lehet (T₁₁).

Jelöljön O egy eszköz vagy forrás aspektus szerinti statikus vagyonosztályt a t=M időpontban (t,M=1,2,...). Jelölje V azt a vagyonváltozások-osztályt a (0;M] időintervallumban, amely a (0;M] időintervallumban bekövetkezett vagyonváltozások révén az M. időpontban az O osztályban lévő vagyont (vagy vagyonhiányt) eredményezte.

Ugyanakkor jelölje V_M(O) az O statikus vagyonosztályához a M. időpontban tartozó fő- ill. részösszeget, továbbá jelölje V_(0,M](V) a V vagyonváltozások osztályának a V_M(O) összeggel azonos mérték szerint kifejezett főösszegét, I(t) pedig a V változásosztály valamely dinamikus időosztálya részösszegét. E jelölésekkel felírva igaz: V_(0,M](V)=I(t) (A₄). Ekkor a tétel formulája a következő:

V_M(O)=V_(0,M](V)=I(t)³0 (t,M=1,2,...) kivéve a sajátvagyon, az eredmény és a ráfordítás esetét. Ezt kell megmutatni.

(1/a) V_M(O)³0 T₁,T₂,T₆,T₇,T₈ és A₂ alapján, ha O nem a sajátvagyon, az eredmény vagy a ráfordítások osztálya, különben:

(1/b) V_M(O)0 T₅ és T₁₀/C alapján, ha O a sajátvagyon vagy az eredmény osztálya, valamint

(1/c) V_M(O)£0 T₉ és A₂ alapján, ha O a ráfordítás osztálya.

Ez a V_M(O) összeg a (0;M] időintervallumbeli azonos dimenziójú vagyonváltozások algebrai összegeként jött létre, tehát A₅ szerint fennáll

(2) V_M(O)=V_(0,M](V)=I(t) és (t,M=1,2,...).

Viszont az egyenlők felcserélhetők és ezért az (1/a), (1/b), (1/c) egyenlőtlenségeket és azok baloldalát írhatjuk így is:

(3/a) V_M(O)=V_(0,M](V)=I(t)³0 (t,M=1,2,...), valamint a sajátvagyon vagy az eredmény osztály esetén:

(3/b) V_M(O)=V_(0,M](V)=I(t)0 (t,M=1,2,...), továbbá ráfordításosztálynál

(3/c) V_M(O)=V_(0,M](V)=I(t)£0 (t,M=1,2,...), ahol (3/b) és (3/c) esetében T₅, T₉ és T₁₀/C szerint csak a relációjelben van különbség.

P.: 1./T₁₁/C₁, T₁₁/C₂, T₁₂, T₁₄.

K.: 1./A₂, A₄, A₅, T₁, T₂, T_5, T₆, T₇, T₈, T₉.

P.: 1./T₁₂.

K.: 1./T₁₁.

Corollárium 2: E tételből nyilvánvaló, hogy ha a (0;M] időintervallum V_t időosztályaihoz (t=1,2,...,M) tartozó I(t,V_t) részösszegekből egyértelműen következik az M-ik időponthoz tartozó O_M statikus vagyonosztály V(t,O_M) értéke, de V(t,O_M) értékéből nem következik egyértelműen az egyes I(t,V_t)-k értéke. Ám ez az összefüggés igaz V(t,O_M)-ra és statikus alosztályainak részösszegeire is.

K.: 1./T₁₁.

12. Tétel. Lemma^[49]: Ha a t=M időpontban valamely statikus vagyonosztály fő- vagy részösszege nem negatív (avagy nem pozitív), akkor az osztályba tartozó vagyont (vagyonhiányt) eredményező (0,M] időintervallumbeli vagyonváltozások első t (t=1,2,..,M) időosztályához tartozó részösszegek összege is az (T₁₂.L.).

Legyen O_S a feltétel szerinti statikus vagyonosztály, s a t=M időpontban (M egész) legyen nem üres vagy üres. Jelölje V_t(O_S)=V_M(O_S) az O_S osztályhoz tartozó fő- vagy részösszeget a t=M időpontban. Először (I.) legyen V_M(O_S)>0, ha O_S a t=M időpontban nem üres (T₁, T₂, T₆, T₇, T₈, T₁₁/C₁) majd V_M(O_S)=0, ha O_S akkor épp üres (A₂). Ezt a két esetet egy relációjellel kifejezve: V_M(O_S)³0. Másodszor (II.) vizsgálandó a tétel V_M(O_S)£0 mellett (T₉, T₁₁/C₁, A₂). A feltétel szerint ugyanis ez a két helyzet állhat fenn.

(I.) Az O_S-t eredményező a (0,M] időintervallumbeli O_V vagyonváltozások osztályát osszuk fel M darab időosztályra. A t. időosztály részösszegét jelölje I(t), ahol t=1,2,..,K,...,M (K is egész). Legyen továbbá V_K(O_V) az O_V vagyonváltozás-osztály első K időosztályához tartozó K darab részösszeg összege, képletben: V_K(O_V)=I(t), ahol 1≤K≤M.

(1) Ha V_M(O_S)³0, akkor V_K(O_V)=I(t)³0, ahol 1≤K≤M.

K=M esetén a tételbeli állítás nyilván a feltétel és T₁₁ szerint igaz, azaz: V_M(O_V)=I(t)³0.

(2) Ha V_M(O_S)³0, akkor V_K(O_V)=I(t)³0 és (1≤K≤M-1).

(3) V_M(O_S)³0 mellett V_K(O_V)=I(t)<0, ha 1≤K≤M-1.

Ámde T₁₁ szerint V_M(O_V)=I(t)³0, ha t=1,2,...,K,...,M-1,M. Azaz, ha t=K, akkor igaz:

(4) V_K(O_V)=I(t)³0, ahol 1≤K≤M-1.

Viszont így V_K(O_V)-ra két érték adódik:

V_K(O_V)<0 (3) szerint és V_K(O_V)³0 (4) szerint. Azaz: V_K(O_V) kisebb, mint nulla és V_K(O_V) nem kisebb, mint nulla - egyszerre. De ez nem lehetséges. Egy állítás és az ellenkezője egyszerre nem lehet igaz. Mivel a (4) szerinti állítás a bebizonyított T₁₁ tételnek felel meg, így az az igaz, s csakis a (3) szerinti, a T₁₁ tétellel ellentétes állítás a hamis.

(II.) Könnyen belátható, hogy a tétel V_M(O_S)£0 mellett (T₉) ugyanígy igazolható, csak az egyenlőtlenségjelek irányát kell megfordítani.

13. Tétel: Ha a t. időpontban (t=1,2,..) valamely statikus vagyonosztály fő- illetve részösszege nem nulla, akkor a statikus vagyonosztály nem üres (T₁₃).

Jelölje V(O) a t. időpontban (t=1,2,..) valamely statikus O vagyonosztály fő- illetve részösszegét. A feltétel szerint ekkor V(O)¹0. Állítom: ha V(O)¹0, akkor O nem üres - azaz: van benne legalább egy vagyontárgy. Ha ugyanis O üres, amikor V(O)¹0, akkor az ellentmond az A₂ axiómának, mely szerint "ha a t. időpontban (t=1,2,...) valamely statikus vagyonosztály üres, akkor és csak akkor e vagyonosztályhoz a t. időpontban tartozó vagyon mennyiségét vagy pénzbeli értékét (vagy más lineáris transzformáltja mértékét) kifejező rész- vagy főösszeg nulla." Tehát O nem lehet üres, ha V(O)¹0.

K.: 1./A₂.

14. Tétel: A t=M időpontban (t,M=1,2,...) létező, nem negatív nagyságú bruttóvagyont, vagy annak valamely statikus osztályában lévő nem negatív nagyságú részét eredményező (0;M] időintervallumbeli vagyonváltozások osztályozás bármely I(t) részösszege, ha 1≤t≤M, lehet nagyobb, mint nulla, vagy egyenlő nullával. Míg ha 2≤t≤M, akkor bármely I(t) részösszeg lehet kisebb nullánál, feltéve, hogy abszolút értéke nem nagyobb, mint az első t-1 részösszeg összege (T₁₄).

A t=M időpontban (t,M=1,2,..) létező vagy akkor már (vagy még) nem létező bruttóvagyon vagy annak bármely statikus osztályában lévő része nagyságát jelölje V_BR(t)=V_BR(M), mint fő- vagy részösszeg. V_BR(M)>0, ha a vagyon vagy az adott része a t=M időpontban létezik (T₁, T₂, T₆, T₇, T₈) és V_BR(M)=0, ha akkor nem létezik (A₂). Együtt: V_BR(M)³0. E vagyont vagy részét eredményező dinamikus vagyonosztályozás főösszegét jelölje V(M).

E jelölésekkel és T₁, T₂, T₆, T₇, T₈ és T₁₁ valamint A₂ alapján írhatjuk, hogy

(A) V_BR(M)=V(M)=I(t)³0.

Azt kell megmutatnunk, hogy miközben (A) igaz, aközben bármely K. időosztály részösszege lehet

(C) I(K)<0, ha 2≤K≤M feltéve, hogy |I(K)|≤V(K-1), ahol V(K-1) az I(K)-t megelőző első K-1 időosztály részösszegeinek az összege, melyre fennáll:

A (B) I(K)³0 (1≤K≤M) nem mond ellent a T₁, T₂, T₆, T₇, T₈, T₁₁ tételeknek és A₂-nek, vagyis a feltételnek is megfelelő (A) V_BR(M)=I(t)³0 formulának. Tehát (B) igaz.

Először a (C) esettel ellentétben tegyük fel, hogy I(K)<0 lehet akkor, ha 1≤K≤M. Legyen pl. mindjárt I(1)<0. Ámde ekkor a bruttóvagyonnak vagy részének rögtön az első időosztályához tartozó részösszege negatív, miközben (A) igaz, ami lehetetlen, mert a T₁₂.L. szerint ekkor I(1)³0 lehet csak.

Megjegyzem, hogy ez az eredmény összhangban van azzal a szemléletes megállapítással, hogy: ha I(1)<0 igaz, akkor ez azt jelenti, hogy pl. vagyon vagy adósság esetén a semmiből veszünk el valamit, ami képtelenség. Tehát: az I(K) részösszegek bármelyike nem lehet negatív, illetve a negatívitás nem kezdődhet K=1-el, csak K=2-től, feltéve, hogy I(1)>0 és I(1)≥|I(2)| ha I(2)<0.

Másodszor tegyük fel, hogy (C) ellenkezője (C') igaz akként, hogy

Így (C')-ben |I(K)|=-I(K)>V(K-1). Most adjunk -I(K)>V(K-1) mindkét oldalához I(K)-t. Ekkor írhatjuk, hogy

(D) I(K)-I(K)>V(K-1)+I(K). Így (D) baloldala egyenlő 0-val, a jobboldala pedig az első K részösszeg összegével V(K)-val.

K.: 1./A₂, T₁, T₂, T₆, T₇, T₈, T₁₁, T₁₂.L.

P.:

15. Tétel: A magára hagyott vagyonnal vagy részével összefüggő saját vagyon(rész) mennyisége/értéke az idő múlásával - mintegy automatikusan - tart a mínusz végtelenhez (T₁₅).

Jelölje a bruttóvagyon nagyságát V_BR (V_BR>0; T₁), az adósságét/idegenvagyonét V_I (V_I>0; T₂). A saját vagyon nagyságát pedig jelölje V_S (V_S=V_BR-V_I a vonatkozó definíció szerint) és V_S0 T₅ szerint.

Mármost az A₇ axióma szerint, ha a gazdálkodó valamely t_mh (ahol t_mh=1,2,...) időpontban magára hagyja a vagyonát vagy annak bármely részét, akkor annak nagysága és pénzértéke, de legalábbis a pénzértéke (vagy más lineáris transzformáltjának mértéke)(A₁₃) - a természeti vagy társadalmi, vagy gazdasági környezet által kiváltott gazdasági események hatására (A₁₂) - az idő múlásával monoton csökkenve tart a nullához.

Továbbá, az A₁₁ axióma szerint: ha a gazdálkodó valamely t_mh időpontban magára hagyja a vagyonát vagy annak bármely részét, akkor a gazdálkodó adósságának mértéke - a természeti vagy társadalmi, vagy gazdasági környezet által kiváltott gazdasági események hatására (A₁₂) - az idő múlásával monoton növekedve tart a plusz végtelenhez.

A₇ és A₁₁ axiómák által megszabott ellentétes monotonitásokból következik, hogy az idő múlásával lesz egyetlen olyan t_N (t_mh£t_N) időpont, amelytől kezdve, vagy amely után a V_S=V_BR-V_I különbség, azaz a saját vagyon negatív és negatívitása - az idő múlásával - monoton nő, azaz V_S tart a mínusz végtelenhez (V_S ® -¥). (Több t_N időpont létezése az A₇ és A₁₁ axióma által szabott ellentétes tendenciájú monotonitások miatt kizárt.)

16. Tétel: ==...=≥0, azaz: ha a (0,t] időintervallumbeli bruttóvagyon-változások alaposztályát és/vagy annak t. időpontbeli (t=1,2,...) egyenlegosztályát n-féleképpen (n³2), azaz tetszőleges, de különböző A₁,A₂,..,A_n vagyonaspektus szerint osztályozzuk, vagy egy A_n+1 aspektusú vagyonosztályozásával kiegészítjük, akkor e vagyonosztályozási rendszer osztályozásainak szerkezete különböző, míg az egymással azonos dimenziójú főösszegei mind egyenlők (T₁₆).

Jelöljük a (0,t] időintervallumban történt bruttóvagyon-változások alaposztálya és/vagy annak a t. időponthoz tartozó egyenlegosztálya tetszőleges A₁,A₂,...,A_i,..,A_n, illetve A_n+1 vagyonaspektus szerinti osztályozásainak szerkezetét a vagyonosztályokhoz tartozó S^A részösszegek összegével. Ezek rendre:

(1) ,,...,,...,, ill.

ahol x,y,u,w,x>0 és egész. Az (1) formulákkal szimbolizált vagyonosztályozások szerkezete mind különböző, mert az A₆ axióma szerint a (0,t] időintervallumbeli vagyonváltozásoknak illetve a t. időpontbeli vagyonnak nincs két azonos vagyonosztályozása.

(2) ==...==...=≥0.

Az (1)-beli vagyonosztályozások részösszegeinek összege A₄ szerint egyenlő az S_Ai-vel (i=1,2,3,...,n,n+1) jelölt főösszegükkel, és így minden i-re fennáll:

(3) S_A1=, S_A2=,...,S_Ai=,...

...,S_An=, illetve S_An+1=.

Minthogy az egyenlők felcserélhetők, a (2) formulát egyszerűbben is írhatjuk:

(4) S_A1=S_A2=...=S_Ai=...=S_An≥0. Ezt kell megmutatni.

(I.) Ha n=2, akkor (5) S_A1=S_A2≥0 az igazolandó állítás.

Jelölje most V_BR a (0;t] intervallumban történt bruttóvagyon-változások bármely aspektusú dinamikus vagyonosztályozásának főösszegét. Valamint jelölje V^'_BR a (0;t] intervallumban történt bruttóvagyon-változások egyenlegeinek t. időponthoz tartozó bármely aspektusú statikus osztályozásának főösszegét. V_BR=V^'_BR az A₅ axióma szerint, függetlenül attól, hogy a V_BR főösszeg dinamikus vagy statikus osztályozás főösszege és attól is, hogy milyen az osztályozási aspektusa.

A t. időpontban a bruttóvagyon V_BR főösszeggel adott mennyisége vagy pénzértéke (vagy más, pozitív együtthatójú lineáris transzformáltjának értéke) T₁ és A₂ szerint nem kisebb, mint nulla (V_BR≥0). Ugyanakkor A₄ szerint fennáll: V_BR=S_A1 és V_BR=S_A2. Ám amik ugyanazzal egyenlők, egymással is egyenlők, s ezért igaz: S_A1=S_A2≥0. Tehát n=2 esetén (5) és így (4) és (2) is igaz.

Vegyük tehát az n tagú (4) egyenlőséglánchoz hozzá a (3)-beli, V_BR nagyságú vagyon A_n+1 aspektusnak megfelelő újabb (A₆) vagyonosztályozása S_An+1 főösszegét (A₄). Ekkor igazolandó:

(6) S_A1=S_A2=...=S_Ai=...=S_An=S_An+1≥0.

Mármost, a feltétel, valamint T₁ és A₄, A₅ alapján S_An+1-re fennáll: V_BR=S_An+1≥0.

De V_BR=S_An≥0 is igaz a feltétel, valamint T₁ és A₄, A₅ alapján. Ekkor tehát S_An és S_An+1 is ugyanazzal a V_BR-val egyenlő és nem kisebb, mint nulla. Ezért: S_An=S_An+1. Viszont a feltétel szerint S_Ai=S_An is igaz (i=1,2,...), következésképp az S_Ai=V_BR≥0 is igaz (i=1,2,...). De láttuk, hogy S_Ai és S_An+1 is ugyanazzal a S_An-el egyenlő, és amik ugyanazzal egyenlők, egymással is egyenlők, azaz: S_An+1 minden S_Ai-vel (i=1,2,...,n) is egyenlő, és nem kisebb, mint nulla.