Bevezetés

1. Az értekezés tárgya, előzmények

Dolgozatomban Lie-csoportbeli valószínűségi változókra vonatkozó centrális határeloszlás-tételekkel kapcsolatos problémákkal foglalkozok.

A témakör fejlődésében az első fontos mérföldkő G.A. Hunt [39] 1956-os cikke, melyben Lie-csoportokon értelmezett valószínűségi mértékekből álló konvolúciós félcsoportokat vizsgált. (Egy ilyen konvolúciós félcsoport úgy is tekinthető, mint egy Lie-csoportbeli értékeket felvevő független, stacionárius növekményű sztochasztikus folyamat egy-dimenziós eloszlás-serege.) Sikerült karakterizálnia az infinitézimális generátorukat a klasszikus Lévy-Hincsin-formula analógjával. Erre támaszkodva D.Wehn [63], [64] 1959-ben adott elégséges feltételeket a centrális határeloszlás-tételre kommutatív háromszögrendszer esetén (azaz amikor az egy sorban álló mértékek a konvolúciószorzásra nézve felcserélhetőek). Egy korai áttekintés található U. Grenander [30] 1963-as könyvében. Az eredményeket H. Heyer [35], [36], [37], W. Hazod [31] és E. Siebert [49], [50], [51], [52], [53], [54], [55], [56] általánosította különböző topológikus csoportokra, és a vizsgálatokat kiterjesztették egyéb valószínűségszámítási kérdésekre is. Az 1976-ig elért eredményeket tárgyalja H. Heyer [38] 1977-es monográfiája. A kutatásokban tevékenyen részt vettek magyar matematikusok is; lásd például Prékopa, Rényi és Urbanik [44], Csiszár [21], [22], [23], [24], Major és Shlosman [41] cikkeit, de érdemes megemlíteni Haar Alfréd nevét is, ugyanis a Haar-mérték igen fontos szerepet játszik ezeken a csoportokon. A legújabb kutatások kiterjednek félcsoportokra is; ezekről szól Ruzsa és Székely [47] könyve.

Egy másik fontos mérföldkő D.W. Stroock és S.R.S. Varadhan [60] 1973-as munkája, melyben funkcionális centrális határeloszlás-tételt bizonyítottak Lie-csoportokon. Náluk a határfolyamat egy független növekményű Gauss-folyamat volt, melyet a martingál-problémával karakterizáltak. Ph. Feinsilver [25] 1978-ban karakterizálta az összes független növekményű folyamatot a martingál-problémával, és funkcionális centrális határeloszlás-tételt is bizonyított ilyen határfolyamatokkal.

Új lendületet adott a kutatásoknak W. Hazod [32] 1984-es cikke, melyben általánosította a stabilis eloszlások fogalmát topológikus csoportokra. Később W. Hazod és E. Siebert [33], [59] 1986-ban megmutatták, hogy a centrális határeloszlás-tétel topológikus csoportokon történő vizsgálatában kiemelt szerepet játszanak a nilpotens Lie-csoportok, ugyanis ha tekintjük lokálisan kompakt topológikus csoportbeli független, azonos eloszlású valószínűségi változók sorozatát, akkor az (automorfizmusokkal) alkalmasan normalizált részletszorzatok lehetséges határeloszlásai olyan részcsoportra koncentrálódnak, mely izomorf egy egyszerűen összefüggő nilpotens Lie-csoporttal. Érdemes megemlíteni D. Neuenschwander [42] 1996-os könyvét, melyben a legegyszerűbb nem kommutatív nilpotens Lie-csoporttal, a Heisenberg-csoporttal kapcsolatos eredményeket foglalja össze.

Nilpotens Lie-csoportokon már V.N. Tutubalin [61] 1964-ben és A.D. Virtser [62] 1974-ben, valamint P. Crépel és A. Raugi [19] 1978-ban bizonyítottak centrális határeloszlás-tételeket konvolúcióhatványokra vonatkozóan (azaz független, azonos eloszlású valószínűségi változókra), de ezekben a munkákban magas momentumok végességét tételezték fel. Végül A. Raugi [45] adott 1978-ban egy bonyolult, hosszú bizonyítást csak a második homogén momentum végességét feltételezve. A konvergenciasebesség vizsgálatával kapcsolatos első lépést P. Crépel és B. Roynette [20] tette meg 1977-ben, de nekik a Heisenberg-csoport esetén O(n-1/3)-nál lassabb konvergenciát sikerült bizonyítaniuk az optimális O(n-1/2) helyett.

Az is kiderült, hogy a stabilis eloszlások vonzási tartományának meghatározásánál igen fontos szerepet játszik a következő beágyazási probléma: vajon ha egy valószínűségi mérték beágyazható egy konvolúciós félcsoportba, akkor ez a konvolúciós félcsoport egyértelműen meghatározott? (Lásd W. Hazod [32], S. Nobel [43] és H.P. Scheffler [48].) P. Baldi [15] 1985-ben megmutatta, hogy 2-lépéses nilpotens Lie-csoportok esetén a Gauss-mértékek egyértelműen ágyazhatók be Gauss-félcsoportba.

Kutatásaimra nagy hatással volt E. Siebert [58] 1982-es cikke is, melyben Lie-csoportokon értelmezett valószínűségi mértékekből álló konvolúciós hemicsoportokat vizsgált, melyek úgy is tekinthetők, mint egy független növekményű folyamat növekményei eloszlásainak kétparaméteres serege. A kiinduló ötlet az volt, hogy ezeket próbáljuk meg infinitézimális generátoroknak egy időparamétertől függő seregével karakterizálni, mely a megfelelő konvolúciós operátor-sereg deriváltja. E. Siebert megmutatta, hogy ennek a kapcsolatnak az integrál-alakja, az úgynevezett evolúciós integrál-egyenletek valóban alkalmasak gyengén Lipschitz-folytonos konvolúciós hemicsoportok karakterizálására. Később Born [17] 1990-ben karakterizálta az erősen korlátos változású konvolúciós hemicsoportokat tetszőleges lokálisan kompakt csoport esetén. Ez a munka J.U. Herod és R.W. McKelvey [34] 1980-as cikkére támaszkodott, melyben a Hille-Yosida elméletet általánosították olyan evolúciós operátor-családokra, melyek Banach-terek egymásba ágyazott láncolatán vannak értelmezve, kontraktív operátorokból állnak, és korlátos változásúak a láncra nézve.