Előszó

Az 1970-es évek elején egy száz egynéhány egyenlőtlenségből és száz valahány ismeretlenből álló mezőgazdasági alkalmazási, lineáris programozási modellt vittem el Debrecenből Budapestre, mert akkor még csak ott volt olyan számítógép, amely ilyen, "nagyméretűnek számító" modell, megoldására képes volt.

Több mint kétórai gépi munka után sem sikerült a megoldás. Mint később kiderült, egy adat elírása miatt. A gépóráért fizetni kellett, s erre nem volt további pénzkeretem, tehát nem tudtam az adat kijavítása után újra gépre vinni a modellt. A feladat megoldása is sürgős volt, tekintve, hogy határidős, gyakorlati problémát kellett megoldani.

Gondoltam egy merészet!

Tekintve, hogy a modell speciális felépítésű és viszonylag üres volt, azaz viszonylag kevés nullától különböző adata volt, s az adatok nagyobb része is egyes és mínusz egyes, úgy véltem, hogy megpróbálom megoldani a modellt számítógép nélkül.

Az akkori szokások és lehetőségek szerint a modell kockás papíron (kockás papírtekercsből levágott darabon) volt megszerkesztve. A modellt kifüggesztettem a szoba falára. Egy munkatársam az íróasztalhoz ültettem, s diktáltam, hogy milyen műveleteket végezzen, (az akkor még kézi tekerős eszközzel), milyen számokkal, s azokat milyen rendben írja le. Alig több mint egy óra alatt sikerült a modellt megoldani!

Nem a gyors számolóképességünk tette ezt lehetővé, hanem az, hogy a modell - mint említettem - egy speciális mátrixot foglalt magába, ami lehetőséget adott, egy új megoldási mód alkalmazására.

Már akkor gondoltam arra, hogy talán érdemes lenne részletesebben megvizsgálni bizonyos speciális modelleket, illetve e modelleket reprezentáló speciális mátrixokat, mátrixsorozatokat különösen azok inverzének előállítási lehetőségét.

Ezt annál inkább szükségesnek tartottam, mert később még nagyobb méretű modelleket is meg kellett oldanom számítógép nélkül, amelyek mérete megközelítette az 1000 ismeretlent és 1000 egyenlőtlenséget.

Felvetetődött tehát bennem annak a lehetősége, hogy az inverzek természetének ismeretében, esetleg mód lenne olyan számítógép program megírására is, amely az adatok beolvasásával egyidejűleg előállítaná a modellben meghatározott mátrix inverzét, vagy a mátrix particionálásával előállított minormátrixok inverzét, stb. Másként, arra is volna lehetőség, hogy adott lineáris programozási feladatot, vagy lineáris programozásra visszavezethető nemlineáris, egészértékű, vagy vegyes egészértékű feladatot, eleve úgy fogalmazzunk meg, hogy a modellben meghatározott mátrix particionálásával előállított minormátrix inverzét eleve megadjuk.

Aztán ismét vissza-visszatértem a kérdésre, s 1978-ban jutottam el oda, hogy egy cikket írtam "Egy speciális elrendezésű modell költségmegtakarító megoldása" címmel, amely megjelent a Statisztikai Szemle 1978. évi 10. számában. Később, a Statisztikai Szemle 1987. évi 2-3. számában megjelent "Egy speciális mátrix és néhány tulajdonsága." című cikkem, s végül ugyancsak foglalkoztam a témával a "Mezőgazdasági vállalatok automatizált tervezése" Mezőgazdasági Kiadó, 1981. az interneten a Magyar Elektronikus Könyvtárban is megtalálható (https://mek.oszk.hu/05200/05296) könyvemben.

Fenti munkáimban csak részben fejtettem ki a problémát, egyrészt a terjedelmi korlátok miatt, másrészt azért, mert például könyvemben ez a kérdés csupán apró motívumként szerepelt egy tágabb, komplexebb témakörben.

A továbbiakban részletesebben kívánok a problémával foglalkozni. A kérdés sokrétűsége miatt a teljességre most sem törekedhetek, de az eddigiektől részletesebb, sokoldalúbb kifejtésre mindenképpen.

A téma véleményem szerint önmagában is érdekes, de mint fentebb említett cikkeimből és könyvemből, valamint egyetemi jegyzeteimből is kitűnik, a mátrixok invertálása részletesebb megismerésének gyakorlati haszna is lehetséges. Igaz, könyvemben csak két speciális mátrixalkalmazás lehetőségét vettetem fel, de egyáltalán nem kizárt, sőt - véleményem szerint - bizonyos, hogy más speciális mátrixok is előfordulhatnak, vagy képezhetők a gyakorlatban, amelyeknél hasznos lehet, ha minden számítás nélkül is ismerjük, vagy fel tudjuk írni egy speciális mátrix inverzét. De a gyakorlati alkalmazás lehetőségétől függetlenül is érdekes lehet számunkra, hogy milyen eredményhez jutunk a különböző speciális mátrixok és mátrixsorozatok invertálása során.

Könyvem elején kénytelen vagyok olyan matematikai apparátust is felvonultatni, amely a matematikában nem járatos olvasó számára nehezen emészthető, vagy érdektelen. A későbbiekben azonban megkísérelem a problémát egyszerű, hétköznapi nyelven leírni, amelynek megértéséhez nem szükséges magasabb matematikai ismeret, annál inkább, mert a leírtakat egyszerű számpéldákkal illusztrálom.