4.1.2. Igazságfeltételek; az egzisztenciális súly problémája

Milyen feltételek mellett igazak a négy arisztotelészi típusba tartozó állítások? A kérdés megválaszolásához érdemes még egy fogalmat bevezetnünk. Egy általános terminus terjedelmén azoknak az egyedi dolgoknak a halmazát értjük, amelyek a terminus alá tartoznak. Az ember terminus terjedelme például az emberek halmaza, és így tovább. Ezekre a halmazokra hivatkozva fogalmazzuk meg az egyes állítástípusok igazságfeltételeit. Az egyetemes állítók a legproblematikusabbak; ezért ezekkel kezdjük a tárgyalást.

A logika történetében sok vitát okozott az a kérdés, hogy következik-e egy egyetemes állításból részleges párja, helyes-e tehát például az alábbi egypremisszás következtetés:

Minden két és fél méternél magasabb ember gerincproblémákkal küzd.
Tehát: Némely két és fél méternél magasabb ember gerincproblémákkal küzd.

Természetesen, ha vannak két és fél méternél magasabb emberek, és azok mindegyike gerincproblémákkal küzd, akkor az is igaz, hogy némelyikük gerincproblémákkal küzd. Kérdés viszont, mi a helyzet akkor, ha nincsenek ilyen emberek. Vajon ebben az esetben igaznak vagy hamisnak kell tekintenünk egyetemes állításunkat? A kérdés nagyon messzire vezet. Itt megelégszünk néhány leegyszerűsített válaszlehetőséggel.

1. Az első lehetőség az, hogy egy egyetemes állítást akkor és csakis akkor tekintünk igaznak, ha nincs rá ellenpélda. Így például a minden ember halandó akkor igaz, ha nincs olyan az emberek között, aki ne tartozna a halandók közé is; tehát ha az ember terminus terjedelmének a halandó terminus terjedelmén kívül eső része üres. Ezt jól illusztrálhatjuk egy úgynevezett Venn-diagrammal:

A két terminus terjedelmét körök ábrázolják, az emberek és a halandók halmazának különbségét pedig - tehát azon emberek halmazát, akik nem tartoznak a halandók közé - értelemszerűen az emberek körének a halandók körén kívül eső tartománya. Azt, hogy ez a tartomány üres, satírozással jeleztük.

Ha ezt az első lehetőséget fogadjuk el, a magas emberekről szóló iménti következtetésünket nem tekintjük helyesnek: amennyiben nincsenek két és fél méternél magasabb emberek, a

Minden két és fél méternél magasabb ember gerincproblémákkal küzd.

állítást igaznak kell elfogadnunk, hiszen nincs rá ellenpélda; ezzel szemben a

Némely két és fél méternél magasabb ember gerincproblémákkal küzd.

állítás hamis lesz. Ezt az értelmezést úgy is jellemezhetjük, hogy nem tulajdonítunk egzisztenciális súlyt az egyetemes állításoknak.

2. A második lehetőség az, hogy az igaz egyetemes állításoktól, amellett, hogy ne legyen rájuk ellenpélda, azt is megköveteljük, hogy pozitív példa legyen rájuk. A minden ember halandó mondat tehát akkor és csakis akkor igaz, ha egyrészt az ember terminus terjedelmének a halandó terminus terjedelmén kívül eső része üres, másrészt a két terjedelem metszete nem üres. Venn-diagrammal:

Itt a metszetbe rajzolt + szimbólum jelzi, hogy ez a tartomány nem üres. Ebben az értelmezésben a magas emberekről szóló következtetést helyesnek tekintjük. Ilyenkor azt mondjuk, hogy az egyetemes állításoknak egzisztenciális súlyt tulajdonítunk. A megoldásnak komplikált és messzire vezető következményei vannak.

3. A harmadik lehetőség az, hogy nem maguknak az egyetemes állításoknak, hanem az általános terminusoknak tulajdonítunk egzisztenciális súlyt: csak olyan következtetésekkel foglalkozunk, amelyekben a terminusok terjedelme nem üres. Ha ezt az értelmezést fogadjuk el, még az egyetemes tagadó állításoknak is lesz egzisztenciális súlya; helyes lesz tehát az alábbi következtetés:

Egyetlen ember sem csalhatatlan.
Tehát: Némely ember nem csalhatatlan.

Ebben az értelmezésben a kategorikus állítások nem állítják, hanem előfeltételezik, hogy terminusaik terjedelme nem üres. Ezért aztán nem is kell külön feltüntetnünk Venn-diagrammjukon ezt az előfeltételezett információt; az ábrákat eleve úgy tekintjük, hogy minden körbe tartozik individuum. Az a állítások Venn-diagramja tehát ugyanaz lesz, ami az 1. értelmezési lehetőségben; de úgy olvassuk ki, mint a 2. értelmezési lehetőségben megadott ábrát. A továbbiakban minden Venn-diagramot úgy értelmezünk, hogy annak minden körébe tartozik legalább egy egyedi dolog.

Az egyszerűség kedvéért a továbbiakban a 3. lehetőséget fogadjuk el: feltételezzük, hogy a következtetéseinkben minden terminus terjedelmébe esik legalább egy egyedi dolog. Az 4.3. fejezetben tárgyalt modern predikátumlogikában viszont lemondunk az egzisztenciális súlyról, és az 1. lehetőség mellett fogunk dönteni.

Térjünk most rá a további három állítástípusra! Az egyetlen ember sem halandó állítás akkor és csakis akkor igaz, ha az emberek között egy sincs, aki egyben a halandók közé is tartozna; tehát ha az ember és a halandó terminusok terjedelmei egymást nem metsző, diszjunkt halmazok. Ezt a megállapításunkat is illusztrálhatjuk Venn-diagrammal:

A terminusoknak tulajdonított egzisztenciális súly miatt az állításba beleértjük, hogy vannak emberek és vannak halandók; tehát a két be nem satírozott tartomány nem üres.

A némely ember halandó állítás akkor és csakis akkor igaz, ha vannak, akik az emberek közé is tartoznak, meg a halandók közé is; tehát ha a két terminus terjedelmének metszete nem üres. Az állítástípus Venn-diagramja tehát:

A némely ember nem halandó állítás akkor és csakis akkor igaz, ha az emberek között van olyan, aki nem tartozik a halandók közé; tehát ha az ember terminus terjedelmének a halandó terminus terjedelmén kívül eső része nem üres. Venn-diagramja: