4.2. Az állításlogika elemei

4.2.1. Következtetések feltételes állításokkal

1. Ha jó idő van, nyitva tart a büfé.
2. Ha nem érem el a hét ötvenes buszt, nem érek be időben a munkahelyemre.
3. Ha Einsteinnek igaza van, akkor nincs abszolút idő, és nincs abszolút tér sem.

Az (1)-(3) állítások nem kategorikusak; két rész-állítást tartalmaznak, amelyek maguk sem okvetlenül kategorikusak. Az első rész-állítás az a feltétel, amelyhez a másodikat kötjük. Az ilyen állításokat feltételes állításnak nevezzük. Az első rész-állítást a feltételes állítás előtagjának, a másodikat a feltételes állítás utótagjának nevezzük. Természetesen a logikai szerkezet és nem a szóhasználat dönti el, hogy mit tekintünk feltételes állításnak. Ugyanez lesz a helyzet a következő fejezetben bevezetett fogalmakkal. Két példa feltételes állítás alternatív megfogalmazására:

4. Amennyiben van kárhozat, üdvözülés is van.
5. Nem létezik örökmozgó - feltéve, hogy igaz az energiamegmaradás törvénye.

Tekintsük néhány következtetést feltételes állításokkal!

6. Ha nem szavazzák meg a költségvetést, lemond a pénzügyminiszter.
   Márpedig nem szavazzák meg a költségvetést.
   Tehát: Lemond a pénzügyminiszter.

A következtetés nyilvánvalóan helyes. Ezt az intuíciónkat az 4.1.5. fejezetben megismert indirekt módszerrel igazolhatjuk. Tegyük fel, hogy a premisszák igazak, de hamis a konklúzió! Az első premisszában a pénzügyminiszter lemondását azzal a feltétellel állítottuk, hogy nem szavazzák meg a költségvetést. A második premisszából tudjuk, hogy ez a feltétel teljesült. A konklúzió hamisságából viszont azt tudjuk, ahogy az, amit ehhez a feltételhez kötve állítottunk, nem igaz. Így az első premissza nem lehet igaz. Ez ellentmond indirekt feltevésünknek. A következtetést lényegesen átláthatóbbá tehetjük, ha a benne szereplő állításokat paraméterrel rövidítjük:

6. ha A, akkor B
   A
   Tehát: B

Ezt a következtetési sémát modus ponensnek nevezzük.

Vizsgáljunk meg egy másik, az iméntinél csak egy árnyalattal komplikáltabb következtetést:

7. Ha elfogadod a kiválasztási axiómát, akkor egyszersmind azt is elfogadod,
   hogy bármely gömb átdarabolható két, vele megegyező térfogatú gömbbé.
   Márpedig nem fogadod el, hogy bármely gömb átdarabolható két,
   vele megegyező térfogatú gömbbé.
   Tehát: Nem fogadod el a kiválasztási axiómát sem.

Mivel az egyes állítások szerkezete itt bonyolultabb, érdemes már most paraméterekkel rövidíteni a következtetésben szereplő állításokat:

7. ha A, akkor B
   nem B
   Tehát: nem A

Ennek a következtetési sémának modus tollens a neve. Helyességét ismét megmutathatjuk indirekt módon. Tegyük fel, hogy a premisszák igazak, de a konklúzió hamis! Ezek szerint A igaz, de B hamis; tehát az első premisszánkban foglalt feltétel teljesül, de amit ehhez a feltételhez kötöttünk, nem. Ezek szerint, indirekt feltevésünkkel ellentétben, az első premissza mégiscsak hamis.

Végül egy harmadik következtetés:

8. Ha ünnepség van, akkor tűzijátékoznak.
   Ha tűzijátékoznak, akkor fél a kutyám.
   Tehát: Ha ünnepség van, akkor fél a kutyám.

A következtetés szerkezete:

8. ha A, akkor B
   ha B, akkor C
   Tehát: ha A, akkor C

is nyilvánvalóan helyes; ennek igazolása azonban jóval nehezebb, mint az előző két esetben. Tegyük fel ugyanis, hogy a premisszák igazak, de a konklúzió hamis! Ahogy az előző példákban láttuk, egy feltételes állítás nyilvánvalóan hamis, ha a tények rácáfolnak: az előtagja igaz, de az utótagja hamis. Ez esetben ünnepség van, de a kutyám mégsem fél. Mármost két lehetőség van: vagy tűzijátékoznak, vagy nem. Ha nem, akkor a tények rácáfolnak az első premisszára, hiszen ünnepség van, de nem tűzijátékoznak. Ha igen, akkor a második premisszára cáfolnak rá a tények, hiszen tűzijátékoznak, de nem fél a kutyám. Mindenképpen ellentmondásba kerülünk azzal a feltevésünkkel, hogy a premisszák igazak.

De egy feltételes állításra nemcsak a tények cáfolhatnak rá. Nagyon is elképzelhető, hogy például se nem tűzijátékoznak, se nem fél a kutyám, és a konklúzió mégsem igaz. Mitől függ egy feltételes állítás igazsága, ha az előtagja hamis vagy az utótagja igaz? Ez nem egyszerű kérdés. Egy feltételes állítás igazságához az esetek döntő többségében az előtag és az utótag között valamilyen tartalmi összefüggésnek kell fennállni. Hogy ez az összefüggés miben áll, az esetről-esetre változó; lehet szó logikai következményviszonyról, oksági kapcsolatról, vagy csak empirikusan megfigyelt szabályszerűségről.

Hogy megmeneküljünk ettől a nehézségtől, a továbbiakban a feltételes állításokat rendkívül leegyszerűsített módon fogjuk értelmezni. Csak abban az esetben tekintjük őket hamisnak, ha a tények cáfolnak rájuk: egy ha A, akkor B formájú állítás akkor és csak akkor hamis, ha A igaz és B hamis; minden más esetben igaz. Ez az értelmezés nem követi a tényleges nyelvhasználatot. Rendkívül leegyszerűsített modelljét adja a feltételes állításoknak. De ennek a modellnek legalább három előnye van:

1. rendkívüli módon megkönnyíti az igazságfeltételek tárgyalását;
2. már ezzel a leegyszerűsítő értelmezéssel is indokolható az (6)-(8)-ban tárgyalt alapvető következtetések helyessége;
3. a feltételes állítások más, kifinomultabb modelljeinek alapjául szolgálhat.