4.2.2. Következtetések egyéb állításlogikai összetételekkel

Nem a feltételes állítások az egyedüli példák állításokból képzett összetett állításokra. Nézzünk még néhány következtetést:

1. Nyitva tartanak és van tej; vagy nyitva tartanak, de nincs tej.
   Tehát: Nyitva tartanak.

Tegyük fel, hogy a konklúzió hamis. Ekkor sem a nyitva tartanak és van tej, sem a nyitva tartanak, de nincs tej állítás nem igaz. Ezek szerint a premissza egésze sem lehet igaz. A következtetés tehát helyes. Szerkezete:

1. A és B; vagy A, de nem B.
   Tehát: A
2. Akkor és csak akkor van zivatar, ha esik az eső, villámlik és mennydörög.
   Tehát: Ha zivatar van, mennydörög.

Tegyük fel hogy a konklúzió hamis. Ekkor - az 4.2.1. fejezetben elfogadott egyszerűsítés szerint - a zivatar van állítás igaz, de a mennydörög állítás hamis. Ha viszont a mennydörög hamis, akkor az esik az eső, villámlik és mennydörög sem lehet igaz. Az akkor és csak akkor egyik oldalán tehát igaz állítás van, míg a másikon hamis. Az állítás tehát hamis. Lehetetlen, hogy a premissza igaz, a konklúzió viszont hamis legyen; a következtetés tehát helyes. Szerkezete:

2. A akkor és csak akkor, ha B és C és D
   Tehát: ha A, akkor D

Végül egy harmadik következtetés:

3. Ha ég a tábortűz és nem énekelünk, akkor valami gond van a hangulattal.
   Ha ég a tábortűz, énekelünk.
   Tehát: Nincs gond a hangulattal.

Tegyük fel hogy a konklúzió hamis. Ekkor a gond van a hangulattal állítás hamis. Mivel ez az első premisszában foglalt feltételes állítás utótagja, az előtagnak hamisnak kell lenni. Hamis, hogy ég a tábortűz és nem énekelünk. Tehát vagy hamis az az állítás, hogy ég a tábortűz, vagy igaz az, hogy énekelünk. És éppen ez a feltétele annak, hogy a második premissza igaz legyen. A következtetés helyes. Szerkezete:

3. ha A és nem B, akkor C
   ha A, akkor B
   Tehát: nem C

Vegyük sorra, milyen konnektívumokkal képeztünk példáinkban egyszerű állításokból összetetteket, és milyen igazságfeltételeket tulajdonítottunk az összetételeknek!

• ha A, akkor B: hamis akkor és csak akkor, ha A igaz, B hamis; igaz minden más esetben. A ha-akkor konnektívumot kondicionálisnak nevezzük. (Más terminológiában: implikáció.)
• A és B: igaz akkor és csak akkor, ha A is, B is igaz; hamis minden más esetben. Logikai elnevezés: konjunkció.
• A vagy B: hamis akkor és csak akkor, ha A is, B is hamis; minden más esetben igaz. Elnevezés: alternáció. (Más terminológiában: diszjunkció.)

- A akkor és csak akkor, ha B: igaz akkor és csak akkor, ha A és B igazságértéke megegyezik. Elnevezés: bikondicionális. (Más terminológiában: ekvivalencia - de ezt a kifejezést mi egészen másra vezettük be a 4. fejezetben!)

- nem [igaz, hogy] A: igaz akkor és csak akkor, ha A hamis. Elnevezés: negáció.

Az állításlogikában - pontosabban annak itt tárgyalt változatában, a klasszikus állításlogikában - a fenti kifejezéseket és esetleges alternatív fogalmazásaikat mindig ezek szerint a szabályok szerint fogjuk értelmezni. Ezeket tekintjük következtetéseink logikai összetevőinek. A nem-logikai összetevők pedig azok az elemzetlen - elemi vagy eleminek tekintett - állítások, amelyekből a premisszák és a konklúzió felépülnek.