4.3.2. A klasszikus predikátumlogika nyelvének eszközei

A változók a predikátumlogikában úgy funkcionálnak, mint a természetes nyelv névmásai. A természetes nyelvi mondatok predikátumlogikai elemzésében a névmásokat vagy névmási szerepet betöltő egyéb kifejezéseket rendszerint változókkal is adjuk vissza. Ezt figyelhetjük meg a következő néhány mondat predikátumlogikai fordításában:

1.   Ő halandó.
1a. halandó(x)
2.   János szereti őt.
2a. szereti(János,x)
3.   Ha valaki ember, akkor az halandó is.

Ezt a mondatot hajlamosak lennénk egzisztenciális kvantorral elemezni:

3a. ha némely x ember(x) akkor halandó(x)

Ez a fordítás két okból is hibás. Először is x második előfordulását nem köti a kvantor; másodszor pedig azért, mert az eredeti mondat valójában egyetemes állítást fejez ki. A helyes elemzés így:

3b. minden x (ha ember(x) akkor halandó(x))

A (2a) példából kiderül, hogy a predikátumlogikai elemzésekben a változók mellett szükségünk van tulajdonnevekre is. Ezeket - a változókkal szembeállítva - névkonstansnak is nevezzük.

Arisztotelész általános terminusainak (lásd: 4.1.1.) a klasszikus predikátumlogikában olyan hiányos kifejezések felelnek meg, amelyeket egy vagy több változóval vagy névkonstanssal kitöltve mondatot kapunk. A logikában az ilyen kifejezéseket nevezzük predikátumnak.[specker] (Az elnevezésnek csak etimológiai köze van a nyelvtanból ismert predikátum kifejezéshez.) A predikátumot kitöltő nevet vagy változót a predikátum argumentumának nevezzük. A kitöltésre váró helyek száma lehet egy vagy több; e szerint beszélünk egy-, két- vagy többargumentumú predikátumokról, illetve a predikátumok argumentumszámáról. Néhány példa változóval kitöltött predikátumokra:

4. Egyargumentumúak: okos(x); sétál(x); ember(x);
    híresebb Einsteinnél(x); nem halandó(x)

5. Kétargumentumúak: ismeri(x,y) [x ismeri y-t];
    idősebb, mint(x,y) [x idősebb, mint y];
    párhuzamos(x,y) [x párhuzamos y-nal]

6. Háromargumentumúak: bemutatta(x,y,z) [x bemutatta y-t z-nek]

A többargumentumú predikátumok esetében az argumentumok sorrendje igen lényeges; a predikátum bevezetésekor ezt rögzíteni kell. Attól, hogy x ismeri y-t, még egyáltalán nem biztos, hogy y is ismeri x-et.

A predikátumok kitöltésével atomi mondatokat kapunk. Ezeket aztán a klasszikus állításlogikában megszokott módon bővíthetjük tovább:

7. Kati nő, ő pedig férfi.
7a. nő(Kati) és férfi(x)
8. Ha ő ember, akkor [ő] halandó.
8a. ha ember(x) akkor halandó(x)

A (3b) szerkezetben megjelenik egy további eszköz is: a kvantor. Kvantorok és a hozzájuk csatlakozó változók segítségével tetszőleges mondatot tovább bővíthetünk. E bővítés általános szabálya igen egyszerű:

9.   Ha A tetszőleges mondat és x tetszőleges változó,
      akkor minden x A és némely x (A) is mondat.
      (Ha A nem összetett, akkor a határoló zárójel elmaradhat.)

A a kvantor hatóköre; x pedig a kvantor által megkötött változó. A nem egy konkrét mondatot rövidít, hanem tetszőleges mondatot képviselhet. Ehhez hasonlóan x sem egy konkrét változó, hanem képviselheti x-et, y-t, z-t stb. A (9) szabály alkalmazásával kaphatjuk meg például (8a)-ból (3b)-t.

A szabályt ismételten is alkalmazhatjuk önnön eredményére. Így állíthatjuk elő például a már említett

10. Minden x (minden y (ha némely z (x egyenlő z és y egyenlő z)
akkor x egyenlő y))

mondatot. Nézzük meg részletesen a (10) mondat szerkesztésének lépéseit! Először előállítjuk az atomi komponenseket:

11.   egyenlő(x,z)
12.   egyenlő(y,z)
13.   egyenlő(x,y)

Ezután konjunkcióval összekapcsoljuk (11)-et és (12)-t:

14. egyenlő(x,z) és egyenlő(y,z)

Most alkalmazzuk (14)-re a (9) szabályt:

15. némely z (egyenlő(x,z) és egyenlő(y,z))

Ezután kondicionálissal összekapcsoljuk (13)-at és (15)-öt:

16. ha némely z (egyenlő(x,z) és egyenlő(y,z)) akkor egyenlő(x,y)

Végül kétszer egymás után alkalmazzuk (16)-ra a (9) szabályt, és megkapjuk a keresett mondatot:

10. minden x minden y (ha némely z (egyenlő(x,z)
és egyenlő(y,z)) akkor egyenlő(x,y))

Ha egy változó egy neki megfelelő kvantor hatókörében fordul elő, akkor a változónak ezt az előfordulását kötöttnek mondjuk. Ha egy változó valamely előfordulását nem köti kvantor, akkor szabad előfordulásról beszélünk. Zártnak mondjuk azokat a mondatokat, amelyekben nincs szabad változóelőfordulás. Nyitottnak mondjuk azokat a mondatokat, amelyek nem zártak. Szabad, illetve kötött változóelőfordulások helyett szokás szabad, illetve kötött változókról is beszélni. Ez némileg pontatlan, amint a következő példa is mutatja:

17. némely x (Px és Rxy) és Qx

Ebben a mondatban x első két előfordulása kötött, a harmadik viszont szabad.

A (9)-ben ismertetett kvantorhasználati szabály alkalmat ad olyan szörnyszülöttek előállítására is, mint például az alábbi mondat:

18. némely x minden x (Pa és Qa)

A mondatok igazságfeltételeinek tárgyalása során látni fogjuk majd, hogy az ilyen esetekben a kvantorhasználat teljesen haszontalan, de veszélytelen is: ha a kvantor hatóköréül szánt mondatban a megfelelő változó nem fordul elő szabadon, akkor a kvantorral megfejelt mondat igazságfeltételei megegyeznek a hatókör igazságfeltételeivel. Esetünkben ez azt jelenti, hogy (18) igazságfeltételei ugyanazok, mint a következő kvantormentes mondatéi:

18a. Pa és Qa

Bizonyos összefüggések kifejezéséhez szükségünk lesz egy speciális kétargumentumú predikátumra: ez az azonosságpredikátum. Egyenlőségjellel jelöljük; az x és az y változókkal kitöltve tehát a következő mondatot kapjuk: x = y. Ez azt fejezi ki, hogy az x és az y változók ugyanazt a dolgot jelölik. Ha nem áll fent az azonosság, azt kifejezhetjük a nem x = y formában is; de rövidíthetjük x ≠ y-nal is.

Az azonosságpredikátum hasznos alkalmazását szemlélteti a következő kétértelmű mondat:

19. Egy ember sétál a parkban.

Ha ez a mondat egy történetet vezet be, akkor nyilván nem értjük bele, hogy más nem sétál a parkban, csak a mondatban említett ember. Ennek megfelelően így elemezhetjük a mondatot:

19a. némely x (ember(x) és sétál-a-parkban(x))

Ha viszont (19) a Hányan sétálnak a parkban? kérdésre válaszol, akkor az ember azt is beleérti, hogy senki más nem sétál a parkban. Azt, hogy másvalakiről beszélünk, az azonosságpredikátummal tudjuk kifejezni:

19b. némely x (ember(x) és sétál-a-parkban(x) és nem némely y (ember(y) és sétál-a-parkban(y) és nem x = y))

Ezzel végére értünk a predikátumlogikában használatos nyelvi eszközök felsorolásának. Érdemes még egyszer összefoglalni ezeket. Mindenekelőtt alkalmazunk logikai kifejezéseket: és, vagy, ha-akkor, akkor-és-csak-akkor-ha, minden, némely, azonos; valamint a két zárójelet: (, ). Ezeken kívül vannak még változóink, névkonstansaink és predikátumaink. Változóként az x, y, z stb. betűket (szükség esetén x₁-et, x₂-t stb.) használjuk. Atomi mondatokat a predikátumok kitöltésével kapunk, ezekből pedig állításlogikai konnektívumok és kvantorok segítségével képezhetünk összetett mondatokat.