4.3.5. Igazságfeltételek 1.: Elemi állítások
Az igazságfeltételek meghatározását a legfontosabb esetekre korlátozzuk. A predikátumlogika rendszerének részletes ismertetése a formális logika kurzusok feladata.
Az állítások igazságfeltételeinek megadásához mindenekelőtt az állításainkban szóba jöhető egyedi dolgok - más szóval: individuumok - halmazát kell megadnunk. Ezt tárgyalási univerzumnak nevezzük, és U-val fogjuk jelölni. A tárgyalási univerzummal szemben támasztott egyetlen követelményünk az, hogy ne legyen üres halmaz; ha nem volna legalább egy szóba jöhető individuum, a változóink és a névkonstansaink egyetlen individuumot sem tudnának jelölni. Az állítások igazságfeltételeinek megadásában mindent a tárgyalási univerzumhoz fogunk viszonyítani.
Min múlik, hogy igaz-e a János olvas állítás? Azon, hogy János azok közé tartozik-e, akik olvasnak; más szóval azon, hogy János eleme-e az olvasók halmazának. Hasonlóképpen: az Ez piros állítás is akkor és csak akkor igaz, ha az a valami, amire az ez szó utal, eleme a piros dolgok halmazának. Az egyargumentumú predikátumokkal képzett atomi mondatok igazságértékének meghatározásához tehát két információra van szükségünk: 1. Mely objektumok tartoznak azon individuumok halmazába, amelyek kielégítik a predikátumot - azaz a predikátum terjedelmébe? 2. Melyik individuumot jelöli a predikátumot kitöltő névkonstans vagy változó? A két információ birtokában már dönthetünk az igazságérték dolgában: az egyargumentumú predikátum kitöltésével kapott mondat igaz, amennyiben a predikátumot kitöltő egyedi terminus által jelölt individuum eleme a predikátum terjedelmének; ha pedig nem eleme, akkor hamis. Az egyargumentumú predikátumok terjedelmei a tárgyalási univerzum részhalmazai; a névkonstansok jelöletei és a változók értékei pedig a tárgyalási univerzum elemei. Ezek viszonyát szemléltethetjük Venn-diagrammal:
A többargumentumú predikátumok viszonyokat fejeznek ki; e viszonyok a tárgyalási univerzum elemei között állnak fenn. A kétargumentumú predikátumok individuumpárok viszonyát fejezik ki, a háromargumentumúak individuumhármasokét stb. Természetesen fontos e párok, hármasok stb. sorrendje, hiszen nem minden viszony szimmetrikus: az ismeri predikátum esetében például könnyen előfordulhat, hogy a Zsuzsi ismeri őt igaz, miközben az ő ismeri Zsuzsit hamis. A két-, három- stb. argumentumú predikátumok terjedelmei tehát nem individuumhalmazok lesznek, hanem rendezett individuumpárok, individuumhármasok stb. halmazai. A kitöltött predikátum igaz, ha a predikátumot kitöltő egyedi terminusoknak megfelelő individuumpár eleme a predikátum terjedelmének; hamis, ha nem eleme. E viszonyokat a kétargumentumú predikátumok esetében ismét szemléltethetjük diagrammal, ahol a predikátum terjedelmét individuumpárokat összekötő nyilak halmaza képviseli:
Egy kétargumentumú predikátum általában individuumpárok közötti viszonyt fejez ki. Az azonosságpredikátum azonban kivétel; egy két individuum alkotta pár tagjai ugyanis nem lehetnek azonosak egymással, hiszen minden individuum csakis önmagával azonos. Az azonosságpredikátum kitöltésével kapott atomi mondatok igazságfeltételeit tehát külön kell megfogalmaznunk: egy ilyen mondat akkor és csakis akkor igaz, ha a benne szereplő két változó vagy névmás ugyanazt az individuumot jelöli. Ezt a szabályt szemlélteti a következő ábra az ő Éva állításon:
