4.3.5. Igazságfeltételek 2.: Összetett állítások
Az állításlogikai konnektívumok szerepével az 4.2. fejezetben már foglalkoztunk; most a kvantorok alkalmazására koncentrálunk. A kvantifikált állítások igazságfeltételeit annak az állításnak a segítségével adjuk meg, amelyet úgy kapunk, hogy elhagyjuk a mondatot nyitó kvantort. Az egyetemes - tehát minden x (...) alakú - állítások ebben a megközelítésben akkor és csak akkor igazak, ha a kvantor elhagyásával kapott egyedi állítás, bármi legyen is a kvantifikált változó értéke; a részleges - azaz némely x (...) alakú - állítások akkor és csak akkor igazak, ha x legalább egy lehetséges értéke mellett igaz a kvantor elhagyásával kapott állítás. Nézzük meg, hogyan érvényesül az általános szabály néhány konkrét esetben!
| 1. | Minden elveszett. |
| 1a. | minden x elveszett(x) |
Az állítás akkor és csak akkor igaz, ha az elveszett(x) mondat x bármely lehetséges értékére igaz. x lehetséges értékei a tárgyalási univerzum elemei; az állítás igazsága tehát azon múlik, hogy az elveszett predikátum terjedelme egybeesik-e a tárgyalási univerzummal.
| 2. | Minden ember halandó. |
| 2a. | minden x (ha ember(x) akkor halandó(x)) |
Az állítás igazsága azon múlik, hogy van-e x lehetséges értékei között olyan, amely mellett a ha ember(x) akkor halandó(x) egyedi állítás hamis. Ez utóbbi viszont a feltételes állítások igazságfeltételeiből adódóan azon múlik, hogy van-e olyan individuum a tárgyalási univerzumban, amely eleme az ember predikátum terjedelmének, de nem eleme a halandó predikátuménak. Az eredeti formula hamis, ha van ilyen individuum; igaz, ha nincs.
| 3. | Valaki horkol |
| 3a. | némely x horkol (x) |
Az állítás akkor és csak akkor igaz, ha horkol(x) igaz x legalább egy lehetséges értékére. Ez pedig természetesen akkor teljesül, ha a horkol terjedelme nem üres halmaz. Ha viszont üres, akkor a formula hamis lesz.
| 4. | Némelyik zenekritikus szellemes. |
| 4a. | némely x (zenekritikus(x) és szellemes(x)) |
Az állítás akkor és csak akkor lesz igaz, ha zenekritikus(x) és szellemes(x) igaz x legalább egy értékére. Ez természetesen azt jelenti, hogy a tárgyalási univerzumnak van olyan eleme, amely mindkét predikátum terjedelmének eleme, vagyis a két terjedelem metszete nem üres. Ellenkező esetben a formula hamis.
| 5. | Valaki valakit rászedett. |
| 5a. | némely x némely y rászedte(x,y) |
Az állítás akkor és csak akkor igaz, ha x lehetséges értékei között van olyan, amely mellett igaz a némely y rászedte(x,y) állítás. Az utóbbi viszont akkor igaz, ha y lehetséges értékei között van olyan, amely mellett rászedte(x,y) igaz. Az utóbbi akkor igaz, ha az x és y értéke által alkotott pár szerepel azok között a párok között, amelyek a szereti predikátum terjedelmét alkotják. Hogy x-et és y-t lehet-e ilyen módon értékelni, az egyedül azon múlik, hogy a rászedte predikátum nem üres-e. Ha üres, az állítás hamis. Ha nem, akkor igaz.
| 6. | A vazallusom vazallusa nem vazallusom. |
Ez a mondat a feudális jog egyik alaptétele, tehát nyilvánvalóan egyetemes állításként értendő:
| 6a. | Senkire sem igaz, hogy bármely vazallusának bármely vazallusa az ő vazallusa volna. |
| 6b. | minden x minden y minden z (ha (vazallusa(x,y) és vazallusa(y,z)) akkor nem vazallusa(x,z)) |
Az állítás akkor és csak akkor igaz, ha x, y és z bármely lehetséges értékére ha (vazallusa(x,y) és vazallusa(y,z)) akkor nem vazallusa(x,z) igaz. Ez nyilvánvalóan teljesül akkor, ha az x értéke és y értéke által alkotott ár nem eleme a vazallusa terjedelmének; és akkor is, ha ez az y értéke és z értéke által alkotott pár esik kívül ezen a halmazon. Ha viszont mindkét pár benne van a vazallusa terjedelmében, akkor az x és a z értéke által alkotott pár már nem lehet benne a halmazban. Az állítás igazságának szükséges és elégséges feltétele tehát az, hogy a vazallusa terjedelmét alkotó individuumpárok között ne legyen három ilyen:
