4.3.6. Néhány következtetési példa

Ellenőrizzük indirekt módon néhány következtetés helyességét!

1.   Minden ember egyenlő.
Tamás ember.
Ő is ember.
Tehát:  Tamás egyenlő vele.

Mindenekelőtt adjuk meg a premisszák és a konklúzió szerkezetét:

1a.  minden x minden y (ha (ember(x) és ember(y))  akkor egyenlő(x,y))
ember(Tamás)
ember(z)
Tehát: egyenlő(Tamás,z)

Tegyük fel, hogy a premisszák igazak, de a konklúzió hamis! A második és a harmadik premisszából adódik, hogy a Tamás név jelölete és a z változó értéke is eleme az ember predikátum terjedelmének. Ugyanakkor a konklúzió hamissága miatt az e két individuum által alkotott pár nem eleme azon párok halmazának, amelyek az egyenlő predikátum terjedelmét alkotják. Legyen most x értéke a Tamás által jelölt individuum, y értéke pedig z értéke! Ekkor ember(x) és ember(y) igaz lesz, egyenlő(x,y) viszont hamis. A ha (ember(x) és ember(y)) akkor egyenlő(x,y) állítás tehát hamis lesz, hiszen előtagja igaz, utótagja viszont hamis. Tehát meg lehet úgy választani x és y értékét, hogy az első premisszában a kvantorok után következő formula hamis legyen; vagyis az egyetemes premissza hamis. Ez ellentmond indirekt feltevésünknek.

2.   Valaki betört a szerverre, és valaki törölte a vádlottat terhelő adatokat.
Tehát: Valaki betört a szerverre, és törölte a vádlottat terhelő adatokat.

A premisszákat és a konklúziót csak a szükséges mélységig elemezzük:

2a.  némely x betört-a-szerverre(x)
 és némely y  törölte-a-vádlottat-terhelő-adatokat(y)
Tehát: némely x (betört-a-szerverre(x) és 
törölte-a-vádlottat-terhelő-adatokat(x))

Tegyük fel, hogy a konklúzió hamis! Ezek szerint nincs olyan eleme a tárgyalási univerzumnak, amely x értékeként igazzá tenné a betört-a-szerverre(x) és törölte-a-vádlottat-terhelő-adatokat(x) állítást. Ez viszont azt jelenti, hogy a betört-a-szerverre és a törölte-a-vádlottat-terhelő-adatokat predikátumok terjedelmének nincs közös eleme. Lehet-e ebben az esetben a premissza igaz? Igen, hiszen ehhez csak arra van szükség, hogy a betört-a-szerverre(x) és a törölte-a-vádlottat-terhelő-adatokat(y) külön-külön igaz legyen x és y egy-egy értékére; de nem kell, hogy ez az érték ugyanaz legyen. A premissza igazságához tehát elég, hogy a két predikátum terjedelme ne legyen üres. Ha tehát a predikátumterjedelmek nem üresek, de nincs közös elemük, akkor a premissza igaz, a konklúzió viszont hamis. A következtetés tehát helytelen. Ezt egyébként a következő cáfoló ellenpélda is jól mutatja:

2b.  Némely szám páros, és némely szám páratlan.
Tehát: Némely szám páros és páratlan.

Végül egy harmadik, szintén egypremisszás következtetés:

3.   Van legalább egy nő, akit minden férfi szeret.
Tehát: Minden férfi szeret legalább egy nőt.

A premisszák és a konklúzió szerkezete:

3a.  némely x (nő(x) és minden y (ha férfi(y) akkor szereti(y,x)))
Tehát: minden y (ha férfi(y) akkor némely x (nő(x) és szereti(y,x)))

Tegyük fel, hogy a premisszánk igaz, de a konklúzió hamis! Ekkor a tárgyalási univerzumnak van olyan eleme, amely mint y értéke hamissá teszi a ha férfi(y) akkor némely x (nő(x) és  szereti(y,x)) állítást. E mellett az érték mellett tehát férfi(y) igaz, de némely x (nő(x) és szereti(y,x)) hamis. Az utóbbi azt jelenti, hogy a tárgyalási univerzumnak nincs olyan eleme, amelyre mint x értékére igaz volna a nő(x) és szereti(y,x) állítás. Ezek szerint nő(x) igaz, de szereti(y,x) hamis. Tehát a férfi predikátum terjedelmének van olyan eleme, amely a nő predikátum egyetlen elemével sem alkot párt a szereti predikátum terjedelmében. Tekintsünk ezek közül egyet! Ha ezt választjuk y értékének, x bármely olyan értéke mellett hamis lesz a ha férfi(y) akkor szereti(y,x) mondat, amely a nő terjedelmébe esik. Tehát ha x értéke a nő terjedelmébe esik, hamis a minden y (ha férfi(y)  akkor szereti(y,x)) állítás. Így hamis a premissza is. Ez ellentmond indirekt feltevésünknek. Lehetetlen, hogy a premisszák igazak, a konklúzió viszont hamis legyen; a következtetés tehát helyes.