Ha a kezemben tartott tollat elejtem, leesik a padlóra
A Föld a Nap körül kering
Szombat este öt számot húznak ki a lottón
Valamikor meg fogok halni
Ezek olyan állítások, amelyeknek az igazságában bizonyosak lehetünk (de legalábbis nyugodtan eltekinthetünk a velük szemben esetleg lehetséges fenntartásoktól). Más állítások esetében viszont, például:
A toll kevesebb, mint húsz centiméterre a lábamtól fog földet érni
A lottószámok, amelyeket szombat este kihúznak, mind párosak lesznek
Öt év múlva életben leszek
nem tudunk bizonyosat, de van értelme arról beszélni, hogy rendelkezünk a bizonyosság valamilyen fokával. A 17. századtól kezdve foglalkozik a matematika módszeresen azzal, hogyan lehet a bizonyosság fokát számszerűen meghatározni. Ezt a fokot nevezzük Jacob Bernoulli 1713-ban megjelent Ars coniectandi (A találgatás művészete) című művének meghatározását követve egy állítás vagy esemény valószínűségének. A biztos esemény, vagy bizonyosan igaz állítás valószínűsége 1
, a többi esemény valószínűsége pedig azt fejezi ki valamilyen módon, hogy a bizonyossága hogyan viszonyul a teljes bizonyossághoz. Eléggé értelemszerű, hogy a lehetetlen események valószínűségét 0-nak tekintsük. De hogyan határozhatjuk meg egy olyan esemény valószínűségét, amely se nem biztos, se nem lehetetlen?
Ha annak a valószínűségét kérdezi valaki, hogy egy százforintos feldobásával fejet dobunk, akkor azt a választ, hogy 50%, azaz 1/2, könnyen el tudjuk fogadni, és azt az indoklást sem tekintjük értelmetlennek, hogy azért van így, mert két eset van: vagy fejet dobunk, vagy írást. Pedig ebben az esetben sem elegendő ennyi indok. Ahhoz, hogy kellően meg tudjuk indokolni, miért tekintjük ennyinek a fej valószínűségét, feltételeznünk kell még valami apróságot: hogy a két eredmény egyformán valószínű. Ez a feltevés az, amit magától értetődőnek tekintünk a százforintos esetében, és nevetünk rajta, ha fehér elefántokról van szó. Hasonlóképpen, ha dobókockával dobunk, magától értetődően feltételezzük, hogy egyforma valószínűséggel esik bármelyik oldalára. Ez az egyenlő valószínűség aztán már persze nem lehet más, mint 1/6. A továbbiakban p(A)-val fogjuk jelölni az A esemény valószínűségét. Tehát: p(a kockával hatost dobunk)=1/6.
Milyen információt jelent az, hogy a százforintos esetében a fej valószínűsége 1/2? Semmiképpen nem azt, hogy ha kétszer dobunk, az egyik biztosan fej, a másik meg írás lesz - hiszen ha ezt tudhatnánk, akkor nem neveznénk a dobás eredményét véletlennek. Még az sincs kizárva, hogy huszonötször egymás után írást dobunk. Ennek ellenére az a tapasztalatunk, hogy ha sokszor feldobjuk a százforintost, a fejek és az írások száma általában elég közel lesz egymáshoz. A fejek dobása relatív gyakoriságának nevezzük a fejek számának arányát az összes dobáshoz. A tapasztalat tehát az, hogy ez a relatív gyakoriság elég hosszú dobássorozatok esetén általában elég közel lesz a valószínűséghez. Ha csak tízszer dobjuk fel a százforintost, akkor nem sokat tudunk mondani arról, hogy hányszor fogunk fejet dobni, legfeljebb kissé meglepődünk, ha a fejek száma háromnál kevesebb, vagy hétnél több lesz. De ha száz dobást végzünk, akkor már nagyon valószínű, hogy a fejek száma negyven és hatvan között lesz, ha pedig ezerszer megismételjük a százas dobássorozatot, akkor gyakorlatilag biztosan azt fogjuk látni, hogy a dobássorozatok túlnyomó többségében negyvenöt és ötvenöt között lesz a fejek száma.
Térjünk vissza ezek után magának a véletlennek a fogalmához. Amikor a pénzfeldobás eredményét véletlennek mondjuk, ezzel nem mondunk ellent annak, hogy ha ismernénk a pénzdarab pontos helyzetét, a feldobáskor rá ható erő nagyságát és irányát és még néhány fizikai körülményt, akkor pontosan meg tudnánk előre mondani, melyik oldalára fog esni. A véletlenség az adott körülményekhez képest áll fenn, amelyek között éppen ezek, a dobás eredményét lényegesen befolyásoló tényezők nem szerepelnek. Ha az összes, az eredményt befolyásoló körülmény rögzített, akkor ezekhez képest a dobás eredménye - és bármely más kísérlet eredménye, vagy esemény kimenetele - egyértelműen meghatározott. Ezt az elvet nevezhetjük az okság elvének, és ezt általánosíthatjuk úgy, hogy ha az eredményt befolyásoló körülményeknek csak egy része adott, ezek meghatározzák a lehetséges eredmények valószínűségét. Az adott körülményekhez képest nevezhetünk egy eseményt véletlennek. A körülmények által okságilag teljesen meghatározott események, azonos körülmények között, mindig ugyanúgy zajlanak le; a véletlen események, ha a kimenetelüket részlegesen befolyásoló körülmények azonosak, mindig ugyanolyan valószínűséggel vezetnek egyik vagy másik kimenetelhez. A nagy számok törvényének szokás nevezni azt az állítást, hogy egy kimenetel relatív gyakorisága kellően sokszori ismétlés esetén közelít a valószínűségéhez. Ez az állítás, így megfogalmazva nem más, mint az előbb kimondott elvünk egy tartozéka. A valószínűségszámítás, mint matematikai elmélet állít valami ehhez nagyon hasonlót, de nem pontosan ugyanezt: azt állítja, hogy megfelelő - példáinkban általában teljesülő - feltételek mellett a relatív gyakoriság nagy valószínűséggel közelít a valószínűséghez.