Az induktív érvelések kritikájához vezessünk most be két újabb, összekapcsolt fogalmat: az alapsokaság és a minta fogalmát. Az induktív érvelés során a megfigyelt egyedeket (az egyes olasz síelőket, illetve a1-et, a2-t, … an-t) úgy tekintjük, mint amelyek az összes olaszt, illetve az összes F tulajdonságú dolgot vagy személyt képviselik, reprezentálják. Alapsokaságnak tekintjük az tulajdonságú dolgok vagy személyek (a példában F, illetve az olaszok) összességét. Induktív érveinket ezekkel a fogalmakkal újra leírhatjuk a következőképpen. Az induktív általánosítás során abból a tapasztalatunkból, hogy a minta minden eleme rendelkezik egy bizonyos másik tulajdonsággal (a példában G, illetve jól síelő), arra következtetünk, hogy az alapsokaság elemei is (mind, vagy általában, vagy legtöbbnyire) rendelkeznek ez utóbbi a tulajdonsággal. Az egyesekről egyesre való következtetés pedig annyit jelent, hogy ugyanebből arra következtetünk: az alapsokaság egy meghatározott, eddig meg nem figyelt (tehát a mintába nem tartozó) eleme is rendelkezik (biztosan, vagy feltehetően, valószínűleg) a minta elemeinek ezzel a közös tulajdonságával.
A bevezető példák közötti logikai különbséget ezek után úgy fogalmazhatjuk meg, hogy az első beszélgetésben az alapsokaságot az olaszok jelentették, és szereplőink az általuk ismert minták alapján arra következtettek, hogy ennek az alapsokaságnak a legtöbb tagja, így vélhetően Giorgio is jól síel. A második beszélgetésben viszont az olimpiai bajnokságra esélyes, kiváló síelők alkották az alapsokaságot. Ebből vettek mintát szereplőink; B alighanem az emlékei, C viszont az eredménylisták végignézése alapján, és ebből vontak le következtetéseket arra nézve, hogy az alapsokaságnak az a tagja, aki a következő olimpián az óriás műlesiklást nyerni fogja, bizonyos eséllyel olasz lesz. B és C különbözőképpen becsülte meg ezt az esélyt, aminek minden bizonnyal az volt az oka, hogy másképpen vették a mintát, amelyre támaszkodtak.
Az induktív következtetésekkel kapcsolatos problémákat abban foglalhatjuk össze: mikor és mennyire megalapozott az a vélekedésünk, hogy a minta elemei összességükben ténylegesen reprezentálják az alapsokaságot? A mintának természetesen nem minden tekintetben kell ugyanolyannak lennie, mint az alapsokaságnak. A mintát, s rajta keresztül az alapsokaságot, mindig valamilyen meghatározott tulajdonság szempontjából vizsgáljuk; ez a tulajdonság első példánkban a jó sítudás. Ezt a tulajdonságot befolyásolják bizonyos más tulajdonságok, például a lakóhely - C voltaképpen erre hívta fel a figyelmet -, hiszen a jó síterepek közelében lakók valószínűbb, hogy jól síelnek. Más tulajdonságok, mondjuk a hajszín vagy a keresztnév, aligha befolyásolják a sítudást, úgyhogy a minta megválasztásánál erre aligha kell tekintettel lennünk. Egy mintát reprezentatívnak mondunk egy F tulajdonság szempontjából, ha az F-fel összefüggő más, adott tulajdonságok tekintetében ugyanolyan összetételű, mint az alapsokaság. [link ide 5.2.3-ból: 1]
Tegyük fel, hogy egy mintavétel segítségével azt akarjuk megbecsülni, a felnőtt magyar állampolgárok mekkora része értett egyet 2006-ban az euró mielőbbi bevezetésével. A mintába bekerült válaszadók 52,2 százaléka mondott igent; lehet-e ebből arra következtetni, hogy ekkora a támogatók aránya? Igen, ha a minta reprezentatív. Ennek az a feltétele, hogy a minta összetétele minden olyan szempontból megfeleljen az alapsokaság, a teljes magyar népesség összetételének, amely befolyásolhatja az egyes polgárok véleményét ebben a kérdésben: kor, iskolázottság, jövedelmi helyzet, a lakóhely jellege (falu vagy város). Természetesen nyitott, és nem eleve eldöntött kérdés az, hogy ezek a tényezők ténylegesen befolyásolják-e a véleményt, és hogy vannak-e esetleg más befolyásoló tényezők is, például a nem - mutat-e számottevő eltérést a férfiak és a nők válasza. Erre a kutatás maga adhat választ, ha elég körültekintően végzik.
Más esetekben ugyancsak további ismeretekre vagyunk utalva egy minta reprezentativitásának megítélésénél. A korábban említett kémiatanár egyetlen kísérlettel is meg tudja győzni diákjait arról, hogy ha mészkőre sósavat öntünk, széndioxid keletkezik. Itt az egyetlen eset által szolgáltatott minta is kellően reprezentatív, és nem lényeges, mekkora a mészkődarab, ugyanígy a sósavoldat töménysége sem. A tanár érvelése azért meggyőző, mert a kémiai vegyület fogalmának ismeretére épít. Hasonló, de nem teljesen azonos probléma egy állat- vagy növényfaj jellemző tulajdonságainak megállapítása. A biológusnak kell tudnia, melyek a fajnak azok a tulajdonságai, amelyek egyetlen egyed vizsgálatával is megállapíthatók, és melyek azok, amelyekhez nagyobb minta megfigyelése szükséges (az utóbbiak közé tartozhatnak színváltozatok, illetve azok megoszlási aránya). Mindebből az (induktívan) általánosítható tanulság csupán annyi, hogy mintánk reprezentativitásának megítéléséhez általában a vizsgált tulajdonsággal kapcsolatos háttértudásra, háttér-információkra van szükség.
Az olyan mintát, amely nem reprezentatív, elfogultnak, avagy torzítottnak szokás nevezni. Érdemes kiemelni néhány olyan, gyakran előforduló hibát, amelyek torzított mintát eredményezhetnek.
A mindennapi beszélgetéseinkben előforduló induktív általánosításoknak talán leggyakoribb és legjellemzőbb hibája az, amikor esetleges, anekdotikus adatokból indulnak ki. Két példa:
A múlt héten kétszer is szabálytalanul előztek meg BMW-vel. Egyszer hajszál híja volt csak egy frontális karambolnak.
A BMW-sek agresszíven vezetnek.
Tegnap a lányomnak annyit mondtam csak, hogy nem tetszik, hogy az új fiúja fülbevalót hord. Képzeld, sértődötten azt válaszolta, hogy ő sem kifogásolja az én fülbevalómat.
Ezek a mai fiatalok a saját szüleiket sem tisztelik.
Az első példa autóvezetője aligha számolta meg, hány olyan BMW-ssel találkozott a múlt héten, akik egyáltalán nem vezettek agresszíven, de talán arról is megfeledkezett, hogy hány agresszív vezetővel találkozott, akiknek kevésbé drága és feltűnő márkájú kocsija volt.
Az a két eset, melyekkel az általánosítását indokolja, nyilván alaposan megragadt az emlékezetében, és ezért tekintette mintának. Következésképp, a minta kiválasztásának módja éppenséggel ellentétes a reprezentativitás követelményével: az alapsokaságból csak azokat vette figyelembe, amelyek rendelkeznek az általánosítani kívánt tulajdonsággal, és figyelmen kívül hagyta azokat, akik nem.
A második példában szereplő anyuka általánosítása is alighanem hasonló hibában szenved. Nem az az igazi probléma az érvelésével, hogy egyetlen esetből általánosít; könnyen lehet, hogy ha megkérdeznénk, egy sor további esetre hivatkozna. Az elhamarkodott általánosító alighanem mindkét példánkban már előre is magáénak vallotta azt a véleményt, melyet példáival alá akart támasztani. Ez önmagában nem lenne hiba; a legalaposabb tudományos kutatás is valamilyen feltevésből, hipotézisből indul ki. A különbség ott van, hogy a módszertanilag megalapozott kutatás pártatlanul választja ki azokat az eseteket, amelyeket a hipotézis szempontjából megvizsgál, sőt, különös gondot fordít azon esetek kipróbálására, ahol viszonylag jó esély van a hipotézis megcáfolására (ha ugyanis a hipotézis ezekben az esetekben is megállja a helyét, az különösen erős érv az alátámasztására). Elfogult általánosítóink azonban a véleményükkel ellentétes esetekkel egyáltalán nem foglalkoztak, csak azokkal, amelyek alátámasztják, amit amúgy is gondolnak. A társadalmi előítéleteket jellemzően ilyen elfogult általánosításokkal támasztják alá. De tudományos kutatást is vitt már tévútra (persze nem ilyen nyilvánvaló módon) a kutató szubjektív elkötelezettsége hipotézise mellett és a lehetséges cáfoló esetek egy részének elhanyagolása.
Szintén a mindennapi életben előforduló induktív érvek gyakori hibája az, amikor nincs ilyen szubjektív természetű torzítás a megfigyelések értékelésében, de mégis azt mondhatjuk, hogy túl kevés esetből történt az általánosítás. Ha az orvos új, ismeretlen gyógyszert ír fel, és az nem használ, akkor könnyen mondjuk hasonló betegséggel küszködő ismerősünknek, hogy ki se próbálja, mert használhatatlan vacak, ha pedig használ, akkor mindenható csodaszernek kiáltjuk ki. Ilyenkor egyelemű (vagy két-háromelemű) mintánk van olyan esetekből, amikor egy gyógyszer jól vagy rosszul hatott, és ebből általánosítunk egy nagy, sokszor igen különböző természetű eseteket tartalmazó alapsokaságra: a gyógyszer alkalmazásának összes esetére. A minta nagyságának kihatása a konklúzió megbízhatóságára még nagyobb, és pontosabban meghatározható szerepet játszik a statisztikus következtetésekben, amelyeket a következő szakaszban vizsgálunk majd.
A harmadik jellemző hiba az induktív általánosításokkal kapcsolatban a túláltalánosítás: amikor a minta elemeiben megtalált közös tulajdonság a célbavett alapsokaságnak csak valamilyen részsokaságára jellemző. Ezt a hibát követte el A és B az első "síelős" beszélgetésben: ha C-nek igaza van, akkor a jó sítudás nem általában az olaszokra, hanem csak az északolaszokra jellemző. A hiba okát is jól mutatja a példa: A és B nem vett figyelembe egy tulajdonságot (a lakóhelyet), amely az általánosítani kívánt tulajdonság (a jó sítudás) szempontjából eléggé lényeges. Ezért céloztak be szélesebb alapsokaságot, mint amelyre a mintában megfigyelt tulajdonság valójában általánosítható. Ez ugyan nem az egyetlen, de a legtipikusabb oka annak, ha az induktív általánosítás túl tágra sikerül.
A példából látható az is, hogy az ilyen hiba javítható: a további tényezők figyelembevételével finomíthatjuk, szűkíthetjük az alapsokaságot, amelyre általánosításunk érvényes lehet. Általánosan fogalmazva, a következő történik ilyenkor. Kiindulópontunk egy feltevés, melyet megfigyeléseinkkel induktív módon szeretnénk alátámasztani: az, hogy egy G tulajdonság igaz az F tulajdonságú alapsokaság minden, vagy legtöbb tagjára. Új információnk az, hogy a G tulajdonság meglétéhez nem elegendő F, hanem G az F-ek közül csak a további H tulajdonsággal is rendelkezőkre jellemző. Ezt az új információt alátámaszthatja az, ha az eredeti minta valamennyi tagjának tényleg megvan a H tulajdonsága is, továbbá, ha megfigyelünk olyan egyedeket, amelyek az F tulajdonsággal rendelkeznek, de a H-val nem, és megállapíthatjuk, hogy az ilyenek között valóban nem (vagy csak jóval ritkábban) fordul elő a G tulajdonság. Ez indokolja, hogy az alapsokaságot leszűkítsük azokra az egyedekre, amelyek mind az F, mind a H tulajdonsággal rendelkeznek, és ezekre mondjuk ki, hogy mind (vagy többnyire) rendelkeznek G-vel is. Ez már a "javított" induktív érvelésünk konklúziója.
A most felsorolt három hiba: az esetleges vagy anekdotikus adatok használata, a túl kis minta és a túláltalánosítás nem olyan hibák, amelyek a gyakorlatban vegytisztán, elkülönítve jelentkeznek. Ellenkezőleg: csaknem mindig átfedik egymást - nem véletlenül kelthették fenti példáink is azt a benyomást, hogy lehetett volna az általánosítások hibáját másképp is besorolni. Felsorolásunk, jellemzésünk az induktív általánosítások hibáiról nyilvánvalóan nem is teljes. A tipikus hibáknak egy ilyenfajta jegyzéke nem is azt célozza, hogy a segítségével minden hibát automatikusan fel lehessen deríteni, és egyértelműen be lehessen skatulyázni, hanem azt, hogy szempontokat adjon, amelyek (egyik, másik, vagy több is egyszerre) segítséget nyújthatnak saját magunk, vagy mások érveléseinek bírálatához.