Fried Ervin
Algebra
TARTALOM, ELŐSZÓ
Tartalom
I. kötet
Előszó
I. rész. Elemi algebra
Első fejezet. Komplex számok
Második fejezet. Mátrixok
Harmadik fejezet. Egyhatározatlanú polinomok
Negyedik fejezet. Többhatározatlanú polinomok
II. rész. Lineáris algebra
Első fejezet. Vektorterek
Második fejezet. Vektortér-konstrukciók
Harmadik fejezet. Lineáris leképezések
Negyedik fejezet. Koordinatizálás
Ötödik fejezet. Bihomomorfizmusok
Hatodik fejezet. Euklideszi terek
Hetedik fejezet. Az euklideszi tér lineáris transzformációi
Nyolcadik fejezet. A karakterisztikus polinom
Kilencedik fejezet. Determinánsok alkalmazása
Tizedik fejezet. Tenzorok
Betűrendes mutató
II. kötet
Előszó (és használati javaslat)
Első rész: Alapfogalmak
1. Halmazelméleti alapfogalmak
2. Általános algebrai alapfogalmak
3. Részbenrendezett halmazok felhasználása az algebrában
Második rész: Csoportok
4. Félcsoportok
5. Csoportok
6. Feloldhatóság
Harmadik rész: Kommutatív gyűrűk
7. Kommutatív gyűrűk
8. Kommutatív testek
Negyedik rész: Algebrák
9. Modulusok
10. Algebrák
Ötödik rész: Egyéb algebrai struktúrák
11. Általános algebrák
12. Hálók
13. Rendezett csoportok és testek
14. Relációalgebrák, algebrai logika
15. Kategóriák
Betűrendes mutató
Irodalomjegyzék
Előszó
Ez a tankönyv elsődlegesen az Eötvös Loránd Tudományegyetem elsőéves matematikus és alkalmazott matematikus hallgatói számára készült, e szakoknak a tematikáját követi; az elemi algebrai és a lineáris algebrai ismeretek a matematika szinte minden területén és az alkalmazásokban is nélkülözhetetlenek. Emellett a lineáris algebra szükségszerűen absztrakt tárgyalása jó átmenetet nyújt a tervezett második kötetben szereplő algebrai struktúrákhoz is.
Ma már Magyarországon (is) sok egyetemi szintű jegyzet és tankönyv foglalkozik az elemi és lineáris algebra tárgyalásával. Ezek mindegyike más felfogásban tárgyalja a fenti tananyagot, ezért nem lehet e tankönyveket rangsorolni; tulajdonképpen jól kiegészítik egymást. Ez a tankönyv az 1977-ben megjelent Klasszikus és lineáris algebra c. tankönyvem pótlására készült, amelynek legutóbbi kiadása is elfogyott. Tekintettel arra, hogy az idézett tankönyvhöz képest lényeges változtatásokat éreztem szükségesnek (többek között szerettem volna egységesíteni az ugyancsak nem kapható Általános algebra c. tankönyvemmel), ezért nem tartottam jónak a fenti tankönyv újabb - lényegében változatlan - kiadását. Nem változtattam a könyv "szellemén", a tananyagot is főleg bővítettem. A tételek bizonyításában a leglényegesebb változás az, hogy az ottani formalizmust igyekeztem elkerülni, arra törekedve, hogy a definíciók ne "ügyesek", hanem a lényeget jobban megmutatók legyenek.
A kötet két részre oszlik. Az első rész tárgya a klasszikus vagy elemi algebra. A középiskolában tanult számfogalom átismétlése és néhány általános algebrai fogalom (elnevezés) bevezetése után a komplex számok ismertetése következik. Ezek után a mátrixok, majd a determináns bevezetésére kerül sor. E résznek a befejezéseként az egy- és többhatározatlanú polinomokat tárgyaljuk. Itt alapvető szempont a fogalmak minél tisztább, minél precízebb bevezetése. Csak ezután kerülhet sor az érdemi tárgyalásra.
A második rész a lineáris algebra. A lineáris algebra eredetileg elsősorban a lineáris egyenletrendszerekkel foglalkozott. Ehhez a mátrixok és ezekhez kapcsolódva a koordináták szolgáltatták a módszert. E felfogással szemben nagy változást jelentett a tömör jelölésmód, amelyben a vektorterek és a lineáris leképezések jutottak szóhoz. Ennek megfelelően a fogalmak geometriai jelentést kaptak; ezáltal sokkal világosabbá váltak. Éles ellentétként a fogalmak absztraktabbak lettek, ami az elvontabb tárgyalásmódot tette szükségessé. A fentebb említett tankönyvhöz képest igyekeztem ezen enyhíteni, ahol tudtam (mind a definíciókban, mind a tárgyalás sorrendjében).
...
Remélem, hogy ezt a tankönyvet sikerrel használhatják más szakok és más egyetemek hallgatói is. Elsősorban természetesen azokra a hallgatókra gondolok, akik matematikus szakra járnak. Úgy vélem, hogy egyéb matematikát tanuló egyetemi hallgatók is tanulhatnak e könyvből; mindenekelőtt algebrai módszereket.
Természetesen egyetlen könyv (de az internet sem) sem pótolhatja az élő előadás élményét. A matematikát csak úgy lehet megtanulni, ha (lehetőleg aktívan) nyomon követjük a gondolkodásmódot, az esetleges hibákat; és a tételeket, a fogalmakat és a bizonyításokat in statu nascendi (a születés pillanatában) láthatjuk. Semmi sem pótolhat egy vitát az előadóval. Az írott segédanyagra az ismeretek felfrissítésekor van szükség. Ettől függetlenül célszerűnek tartom azt, hogy a tankönyv a közölt tananyagon kívül lehetőleg gondolkozni is tanítson és magyarázzon. Természetesen ehhez szükséges, hogy a fogalmak, tételek és a bizonyítások (eltekintve néhány hosszadalmas és mechanikus bizonyítástól) mind megtalálhatóak legyenek a tankönyvben.
A szereplő fogalmak és tételek az elméleti és az alkalmazott matematika legkülönbözőbb területeiről származnak. Ezeknek a fogalmaknak a motivációjáról azért mondtam le, mert ez az egész tárgyalást igen hosszadalmassá és esetleg érthetetlenebbé tenné. Megmaradtam az algebrai keretek között, és az alkalmazásokra való utalást a megfelelő szaktárgyakra hagytam.
...
Budapesten a 2000. évben
Fried Ervin