Nagy Attila
Félcsoportok
TARTALOM, ISMERTETÉS
Tartalom
BEVEZETŐ
1. A FÉLCSOPORT ÉS CSOPORT FOGALMA
1.1. A művelet fogalma
1.2. A félcsoport fogalma
1.3. általános asszociativitás és kommutativitás
1.4. Félcsoport kitüntetett elemei
1.5. A csoport fogalma; ekvivalens definíciók
1.6. Félcsoport részfélcsoportjai
1.7. Félcsoport részcsoportjai
2. FÉLCSOPORT KONGRUENCIÁI
2.1. Binér relációk félcsoportja
2.2. Ekvivalenciarelációk
2.3. Félcsoport kongruenciarelációi, faktorfélcsoport
2.4. Csoport-, illetve nullelemes csoport-kongruenciák
3. FÉLCSOPORT HOMOMORFIZMUSAI
3.1. Homomorfizmustétel, Izomorfizmustételek
3.2. Szabad félcsoportok
4. FÉLCSOPORT IDEÁLJAI, A GREEN-RELÁCIÓK
4.1. Minimális, 0-minimális ideálok
4.2. 0-minimális bal oldali ideálok
4.3. Rees-féle kongruencia, Rees-féle faktorfélcsoport
4.4. Félcsoport főfaktorai
4.5. A Green-féle L-, R-, H-, D-relációk
5. FÉLCSOPORTOK IDEÁLBŐVÍTÉSE
5.1. Ideálbővítés, parciális transzformációk
5.2. Félcsoportok transzlációs burka
5.3. Gyengén reduktív félcsoportok
6. REGULÁRIS FÉLCSOPORTOK, INVERZ FÉLCSOPORTOK
6.1. Reguláris elem
6.2. Neumann-féle inverz
6.3. Reguláris félcsoportok
6.4. Inverz félcsoportok
7. JOBB EGYSZERŰ ÉS JOBB 0-EGYSZERŰ FÉLCSOPORTOK
7.1. Idempotens elemet tartalmazó jobb egyszerű félcsoportok
7.2. Idempotens elemet nem tartalmazó jobb egyszerű félcsoportok
7.3. Baer-Levi félcsoportok
8. EGYSZERŰ ÉS 0-EGYSZERŰ FÉLCSOPORTOK
8.1. Egyszerű félcsoportok
8.2. Croisot-Teissier félcsoportok
8.3. 0-egyszerű félcsoportok
9. TELJESEN EGYSZERŰ ÉS TELJESEN 0-EGYSZERŰ FÉLCSOPORTOK
9.1. A teljesen 0-egyszerű félcsoportok jellemzései
9.2. Rees-féle mátrixfélcsoportok, a Rees-tétel
9.3. Teljesen egyszerű félcsoportok
9.4. Brandt-félcsoportok
10. FÉLCSOPORTOK FÉLHÁLÓ-FELBONTÁSA
10.1. Félcsoportok legszűkebb félháló-kongruenciája
10.2. Arkhimédeszi félcsoportok félhálója
10.3. Félcsoportok erős félhálója
10.4. Kötegek
11. FÉLCSOPORTOK SZUBDIREKT SZORZATA
11.1. Szubdirekt irreducibilis félcsoportok
11.2. Szubdirekt irreducibilis kommutatív félcsoportok
12. PERMUTÁLHATÓ FÉLCSOPORTOK
12.1. Permutálható félcsoportok ideáljai
12.2. Permutálható félcsoportok epimorf képei
12.3. Kommutatív permutálható félcsoportok
13. FÉLCSOPORTOK BEÁGYAZÁSA CSOPORTOKBA
13.1. Kommutatív félcsoport beágyazása csoportba
13.2. Egy elégséges feltétel
13.3. Egyszerűsítéses félcsoport hányadoscsoportja
14. FÉLCSOPORTOK BEÁGYAZÁSA CSOPORTOK UNIÓJÁBA
14.1. Kommutatív félcsoportok legszűkebb gyengén szeparatív kongruenciája
14.2. Kommutatív gyengén szeparatív félcsoportok
15. FÉLCSOPORTALGEBRÁK
15.1. Véges dimenziós algebrák kitüntetett elemei
15.2. Véges dimenziós algebra nilpotens ideáljai
15.3. Féligegyszerű algebrák
15.4. Félcsoportalgebrák
16. FÉLCSOPORTOK MÁTRIXREPREZENTÁCIÓI
16.1. Jobbreguláris reprezentáció
16.2. Félcsoportok direkt szorzatának jobbreguláris reprezentációja
16.3. Félcsoportok félhálójának jobbreguláris reprezentációja
17. MEGOLDÁSOK
TÁRGYMUTATÓ
IRODALOMJEGYZÉK
Ismertetés
Az algebrai struktúrák vizsgálatában a kongruenciák központi szerepet játszanak. Ebből a szempontból lényeges különbség van a félcsoportok és a fenti öszehasonlításban szereplő csoportok, illetve gyűrűk között. Amíg a csoportok, illetve gyűrűk esetében kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés van a kongruenciák és a csoportok normális részcsoportjai, illetve a gyűrűk ideáljai között, addig a félcsoportok esetében sokkal kedvezőtlenebb a helyzet. Ugyan egy félcsoport bizonyos részstruktúrái, például az ideálok, vagy a reflexív unitér részfélcsoportok meghatározzák az illető félcsoport egy-egy kongruenciáját, de a félcsoportok esetében nincsenek olyan részstruktúrák, amelyek kölcsönösen egyértelmű módon determinálnák egy félcsoport kongruenciáit. Többek között ez is oka annak, hogy a csoportelméletben, illetve gyűrűelméletben eredményes konstrukciók közül nem mindegyiket lehet hatásosan alkalmazni a félcsoportok vizsgálatában. Példaként említhető a direkt szorzat. Így a félcsoportelméleti kutatások jellege is megváltozott a kezdeti jelleghez képest. Olyan speciális konstrukciók jelentek meg a kutatásokban, illetve a már meglévők közül olyanok kerültek előtérbe, amelyek eredményesen használhatók a félcsoportok vizsgálatában. Ilyenek például a félcsoportok különböző típusú köteg-felbontása, főleg a félháló-felbontás, illetve a félcsoportoknak szubdirekt irreducibilis félcsoportok szubdirekt szorzatára való felbontása. A jegyzetben több fejezetet szentelünk mind a félháló-felbontásnak, mind a szubdirekt szorzatnak, ezen belül a szubdirekt irreducibilis félcsoportoknak.
Forrás: http://tankonyvtar.ttk.bme.hu