Második levél
Paris, 1654. november 6.
Pierre Fermat úrnak,
Orléans
Uram,
levél még nem okozott olyan örömet, mint az Öné, amelyet Carcavi úrral küldött nekem. Alig vártam Carcavi úr visszaérkezését, hogy kifaggassam, hogyan fogadta Ön október 28-i levelemet. Csak arra számítottam, ígéretet hoz Öntől, hogy rövidesen válaszol nekem: az, hogy a választ is elhozta, meghaladta várakozásaimat. Ezért – bár levele tulajdonképpen hónapokra elég töprengeni való nyújt – mégis azonnal válaszolok, noha tudom, hogy éppen e sietség miatt válaszom nem lesz minden tekintetben teljes. Úgy hallottam, hogy egyes sakkozók homokórával játszanak, úgyhogy gondolkodási idejük korlátozva van. Úgy érzem, levelezésünk ilyen sakkjátszmához hasonlít, és én örömmel veszek ebben részt, azt sem bánva, hogy nem kétséges: ebből a versenyből csak Ön kerülhet ki győztesen.
Megpróbálok tehát kérdéseire válaszolni. Nem akarok azonban Ön előtt a valóságnál jobb színben feltűnni, ezért megmondom őszintén, hogy kérdéseire csak azért tudok egyáltalán ilyen gyorsan válaszolni – hogy helyesen vagy helytelenül, azt Ön döntse el –, mert e kérdések kivétel nélkül felmerültek már bennem is és így nem értek engem készületlenül. Sőt, amikor előző levelemet lepecsételtem, világosan láttam, hogy e kérdésekre – különösen második kérdésére – már abban ki kellett volna térnem. Én általában úgy vagyok az írással, hogy amikor a végére érek, akkor jövök rá, mivel kellett volna kezdenem. De éppen azért, mert ehhez hozzászoktam – és ily módon, amikor valamilyen írás végére pontot teszek, soha nem vagyok megelégedve az elejével –, nem változtattam rajta, hanem elküldtem Önnek úgy, ahogy volt, tudva, hogy ha átírtam volna, a végén akkor sem lettem volna vele megelégedve.
Első kérdésére a válasz igen egyszerű és meggyőződésem, hogy azt Ön is jól ismeri, csak engem akart próbára tenni, mennyire alaposan gondoltam át, amit írtam. Kérdése ahhoz kapcsolódik, hogy – mint írtam – a szerencsejátékoknál egy esemény valószínűségét úgy számíthatjuk ki, hogy a játék egyformán lehetséges és egymást kölcsönösen kizáró kimenetelei közül megszámoljuk azokat, amelyek a szóban forgó esemény bekövetkezését vonják maguk után, tehát amelyek az eseményre nézve kedvezőek, és ezt a számot elosztjuk a játék összes egyformán lehetséges kimenetelei számával (tehát az eseményre nézve kedvező és kedvezőtlen esetek számának összegével). Helyesen mutat Ön rá, hogy „egyformán lehetséges” kimenetelek helyett „egyformán valószínű” kimenetelekről is beszélhetünk, a kettő ugyanazt jelenti. Mármost az Ön kérdése az, hogy itt nem circulus vitiosus-ról van-e szó, hiszen látszólag a valószínűség definíciójához felhasználjuk a valószínűségek egyenlőségét, vagyis a valószínűséget a valószínűséggel, azaz önmagával definiáltuk, márpedig egy fogalom
meghatározásánál nem szabad magát a fogalmat felhasználni, hiszen ez olyan, mintha önmagunkat a saját hajunknál fogva próbálnánk felemelni.
E kérdésre természetesen azt válaszolom, hogy itt nem erről van szó, abban amit írtam, semmilyen logikai hiba sincs, hiszen itt nem a valószínűségnek mint fogalomnak a definíciójáról, csak a valószínűségek kiszámítására szolgáló szabályról, a valószínűség számértékének meghatározásáról van szó, konkrét egyszerű esetekben. Én feltételeztem, hogy minden véletlen eseményhez hozzárendelhető egy meghatározott 0 és 1 közé eső szám, melyet az esemény valószínűségének neveztem, és amely az esemény bekövetkezésére vonatkozó nem teljes bizonyosság fokát fejezi ki. Mármost azt, hogy két esemény valószínűsége egyenlő-e, el lehet dönteni anélkül, hogy ezek valószínűségének számértékét ismerném. Az, hogy egy kocka szabályos, azt jelenti, hogy ha az oldalai nem volnának megszámozva, nem is lehetne őket megkülönböztetni, és ha – mialatt kimegyek a szobából – valaki átszámozza az oldalakat, visszatérve ezt észre sem fogom venni. Így tehát nyilvánvaló, hogy a kocka ugyanakkora valószínűséggel eshet minden egyes oldalára. Ugyanarról van itt szó, mint amikor két távolságról úgy látom be, hogy egyenlő hosszú,
hogy egymásra helyezem őket és megállapítom, hogy végpontjaik pontosan egybeesnek; így el lehet dönteni, hogy két távolság egyenlő-e, anélkül, hogy megmérném a hosszúságukat. Hasonlóképpen kétkarú mérleggel súlyok nélkül is el lehet dönteni, hogy két tárgy egyforma súlyú-e.
Rátérek most második kérdésére, melyre a válasz már távolról sem ilyen egyszerű. Ön ugyanis azt kérdezi, hogyan lehet egy hamis – ólmozott – kocka esetében (melynek súlypontja nem esek a kocka mértani középpontjába) kiszámítani annak a valószínűségét, hogy e hamis kockával egy meghatározott számot, pl. hatost dobjunk. A kérdés első pillanatra ártatlannak látszik, valójában azonban nagyon súlyos kérdés, mert egészen alapvető problémára vet fényt, olyan problémára, amellyel tulajdonképpen már első levelemben kellett volna foglalkoznom. Persze, ha Ön barátomnak, de Méré lovagnak tenné fel a kérdést, azt hiszem, ő ezt azzal hárítaná el, hogy ő csak úriemberekkel szokott kockázni, olyan társaságban, ahol nem szokás hamis kockával játszani, és ha kiderülne egy kockáról, hogy hamis, azt azonnal kidobnák – azzal együtt, aki hozta. Joggal kérdezhetné Ön, miből vennék észre, hogy a kocka hamis. A lovag nemigen felelhetne mást, mint azt, hogy aki a hamis kockával játszik, az többször dobna hatost, mint ahogy egy szabályos kockánál várható, hiszen éppen ezt akarják elérni azok, akik hamis kockát készítenek. Ha Ön azt firtatná a továbbiakban – remélem, megbocsát nekem azért, hogy egy képzeletbeli párbeszédet írok Önnel
mint
főszereplővel – szóval megkérdezné – nyilván nem is kérdezhetne mást –, hogy szabályos kocka esetében mit várna a lovag, a válasz csak az lehetne; azt várja, hogy szabályos kockával való hosszú ideig tartó játék során körülbelül ugyanannyiszor dob az ember hatost, mint bármely más számot, tehát a dobások számának körülbelül az 1/6-ában dob hatost.
Ezzel azonban a lovag, bár nem is törekedett erre, máris felelt volna az Ön kérdésére. Ha ugyanis a hamis kocka az összes dobások számának körülbelül x-ed-részében esik úgy, hogy a hatossal jelölt oldala van felül, a hol x valamilyen 1/6-nál nagyobb szám, akkor annak valószínűsége, hogy e kockával hatost dobjunk, nyilván éppen x-el egyenlő. Erre Ön megint feltehetne egy fogas kérdést. És pedig azt, hogy ha egy hamis kockával valaki 600-szor dob, és ennek során a 6-os 150-szer jött ki, akkor biztosak lehetünk-e abban, hogy e kockával a 6-os dobásának valószínűsége pontosan 
? A lovag azt az ellenvetést tehetné (feltéve persze, hogy olvasta előző levelemet és az abban bevezetett kifejezést használja), hogy ez elsietett következtetés volna, hiszen ha a kocka szabályos és így a 6-os dobásának valószínűsége pontosan 1/6 volna, 600 dobásból általában nem pontosan 100-szor jönne ki a hatos, csak körülbelül 100-szor így a hamis kocka esetében sem állíthatjuk, hogy a 6-os dobásának valószínűsége pontosan 1/4, csak azt, hogy közel van 1/4-hez. Erre Ön feltehetné, hogy ha így csak közelítőleg lehet meghatározni a 6-os dobás valószínűségét a hamis kockával, akkor hogyan lehet mégis pontosan meghatározni azt. Erre a lovag – mint gyakorlott játékos – nyilván
azt
válaszolná, hogy olyan módszert ugyan nem ismer, amellyel teljes pontossággal meg lehetne határozni a 6-os dobásának valószínűségét a hamis kockával, de ha Önt a kapott közelítő érték nem elégíti ki – bár ez a kísérlet szinte kétséget kizáróan igazolja, hogy a kocka hamis, így leghelyesebb azt rögtön tűzbe vetni –, módjában állna még megbízhatóbb, még jobb közelítést kapni a szóban forgó valószínűségre azáltal, hogy egy újabb – az előzőnél hosszabb – mondjuk 1200 dobásból álló dobássorozatot végez és kiszámítja, hogy az összes dobások hányadrészében jött ki a hatos. Ha például 1200 dobás során a 6-os 288-szor jönne ki, akkor a szóban forgó valószínűségre a 
megbízhatóbb közelítő értéket kapná.
Lehet, hogy ehhez még hozzátenné a lovag – mert, mint már múltkor írtam Önnek, újabban nagyon érdeklődik a filozófia iránt –, hogy míg szabályos kocka csak egyféle van, egy kocka végtelen sokféle módon lehet hamis, ugyanúgy, mint ahogy hazudni is végtelen sokféleképpen lehet.
Nem folytatom tovább e képzelt párbeszédet, mert azt hiszem, ennél sokkal többet de Méré lovagtól úgysem igen tudhatna meg – és mindezt Ön úgy is tudja. Megpróbálok inkább saját szavaimmal válaszolni az Ön kérdésére. A rövidség kedvéért állapodjunk meg abban, hogy ha bizonyos számú, azonos körülmények között végrehajtott kísérlet mindegyikét megfigyeljük abból a szempontból, hogy egy A esemény mely kísérleteknél következett be és melyeknél nem, nevezzük azon kísérletek számát, melyeknél az A esemény bekövetkezett, az A esemény gyakoriságá-nak a szóban forgó kísérletsorozatban, míg az A esemény gyakoriságának és az összes megfigyelt kísérletek számának hányadosát az A esemény relatív gyakoriságá-nak nevezzük. Mármost mindenki, akinek elegendő tapasztalata van a szerencsejátékokban, tudja, hogy egy esemény relatív gyakorisága egy sok játszmából álló játszmasorozatban általában közel lesz egy meghatározott számhoz, mégpedig éppen ahhoz az értékhez, amelyet az illető esemény valószínűségének neveztünk, és általában annál közelebb lesz ehhez, minél nagyobb a játszmák száma. A 6-os
dobásának
relatív gyakorisága például kocka több-százszor való feldobása esetén igen közel lesz a 6-os dobás valószínűségéhez, tehát ha a kocka szabályos 1/6-hoz, ha azonban nem szabályos, akkor általában valamely más számhoz. Hamis kocka esetében a 6-os dobásának valószínűségét csak tapasztalati úton lehet több-kevesebb pontossággal meghatározni. Elvileg e módon tetszőleges pontossággal meg lehetne határozni e valószínűséget, gyakorlatilag persze nem lehet e pontosságot tetszőlegesen fokozni, hiszen ez rengeteg időt igényelne – sőt, közben a kocka el is kopna. Azt hiszem azonban, hogy Önt nem is az érdekli valójában, hogy egy hamis kockánál mi a 6-os dobás valószínűségének pontos értéke, hanem kérdésének valódi tartalma az, hogyan lehet egy olyan véletlentől függő esemény valószínűségét meghatározni, amelynél nem lehet visszavezetni a kérdést arra, hogy a szóban forgó kísérletnek hány egyforma valószínűségű, egymást kizáró kimenetele lehetséges. A szabályos kocka esetében alkalmazott meggondolást szimmetria-meggondolásnak nevezhetjük, mivel a szabályos kocka szimmetriáján alapszik. Persze, a kristályok példája mutatja, hogy a szimmetria a természetben is gyakran előfordul, nemcsak az ember által
mesterségesen előállított
tárgyak esetében. Másrészt számos természeti jelenségnél nem tapasztalható pontos szimmetria. Ha a tengerparton sétál az ember és megvizsgálja a víz által lecsiszolt kavicsokat, nemigen talál közöttük olyant, amelynek alakja valamely szabályos mértani idom – például pontos gömb – volna. Az ember maga sem egészen szimmetrikus. Nemrégiben olvastam valahol, hogy bár a régi rómaiak ismerték a kockajátékot is és az a gazdagok között eléggé el is terjedt, a katonák nem szabályosra csiszolt fa- vagy csontkockákkal – tessera-val –, hanem a kecske vagy a juh térdkalácsának egy darabkájával, az ún. talus-szal vagy taxillus-szal kockáztak. E csontocskákat a régi görögök is ismerték és asztragalosz-nak nevezték. E csontocskák esetében az egyes lehetséges dobásfajták valószínűségeit már csak tapasztalati úton, a relatív gyakoriság megfigyelése útján lehet közelítőleg meghatározni.
A taxillusnak nevezett csontocskának 6 oldala van ugyan, de ezek közül kettő domború és így csak négy különböző oldalán képes megállni. A görögök és rómaiak általában négy taxillust dobtak fel egyszerre: a legértékesebb dobásnak az számított, ha a négy csontocska mindegyike más-más oldalával felfelé esett: az ilyen dobást Venus-nak nevezték. Nemrégiben szereztem két ilyen csontocskát, és kísérleteket végeztem velük. Az egyiknél az egyes oldalak gyakoriságai 1000 dobás során 408, 396, 91 és 105 voltak. A másikkal már csak 100 dobást végeztem, azután valahogy elveszett a csontocska; a 100 dobás során a gyakoriság 38, 43, 11 és 8 voltak. Jelöljük a taxillus helyzetei közül a két valószínűbbet A-val és B-vel, a két kevésbé valószínűt C-vel és D-vel. Azt hiszem, nem tévedek nagyot, ha ezen megfigyelések alapján az egyszerűség kedvéért felteszem, hogy a taxillusnál az A és B helyzet valószínűsége 4/10, a C és D helyzeté 1/10. Ez esetben – mint Ön is könnyen kiszámíthatja – 4 taxillusszal való dobás esetén a Venus-figura dobásának valószínűsége 
. Ugyanis a négy helyzet valószínűségeit az előző levelemben említett szorzási szabály
értelében össze kell szorozni,
így 
-öt kapunk, ez azonban még csak annak a valószínűsége, hogy a négy taxillust az 1, 2, 3, és 4 számokkal megszámozva az 1. taxillus az A helyzetben, a 2. a B helyzetben, a 3. a C helyzetben, a 4. pedig a D helyzetben álljon meg. Mivel azonban a négy taxillust 24-féleképpen lehet az 1, 2, 3 és 4 számokkal megszámozni, illetve az A, B, C, D betűket 24 sorrendben lehet leírni, tehát a Venus-esemény 24 különböző, egymást kizáró módon jöhet létre és így az összeadási szabály szerint a Venus-dobás valószínűsége 
, vagyis valamivel kevesebb, mint 
. Érthető, miért tartották a rómaiak olyan szerencsésnek azt, akinek Venus-t sikerült dobnia.
A taxillusok nem pontosan egyformák és így két különböző taxillus esetében lehet, hogy az A dobás valószínűsége nem pontosan ugyanaz, pl. az egyiknél 0,4, a másiknál 0,38, ha azonban egyetlen egy taxillust veszünk, ennél az A dobás valószínűsége a taxillus minden egyes feldobásánál pontosan ugyanaz. Ezzel szemben a gyakoriság maga is a véletlentől függ, és így nem lehet pontosan előrelátni, hogy mekkora lesz az értéke, csak azt tudjuk, hogy közel lesz a valószínűséghez. Ha pl. egy taxillusszal, amelynél az A dobás valószínűsége 0,4, 100-szor dobunk, egyáltalában nem biztos, hogy pontosan 40-szer dobunk A-t, lehet ez a szám 39 vagy 41, 36 vagy 44 stb.: ha többször egymásután végzünk 100-100 dobást, általában más és más lesz az A dobás gyakorisága az egyes 100-as sorozatokban, és így a relatív gyakoriság is sorozatról sorozatra véletlenszerűen változni fog, de általában csak kevéssel fog eltérni 0,4-től – az A dobás valószínűségétől. A valószínűség tehát az a szilárd pont, amely körül a relatív gyakoriság a véletlentől függő, előre nem látható és szabálytalan módon ingadozni fog, de a valószínűségtől szeszélyes változásai során legtöbbször csak kevéssel fog eltérni. Ha a
megfigyelések számát növeljük, a gyakoriságnak a várt értéktől (vagyis a valószínűség és az összes megfigyelések számának szorzatától) való eltérés általában növekedni fognak, de relatív gyakoriságnak a valószínűségtől való eltérési általában kisebbek lesznek. Ha például a taxillusszal 400-szor dobunk, a C oldal dobásainak tényleges száma a várt értéktől, vagyis 400 × 1/10 = 40-től általában ritkán fog 12-nél többet eltérni, míg ha 1000 dobást végzünk, a C oldal gyakorisága a várt értéktől, azaz 1000 × 1/10=100-tól elég gyakran fog 12-nél többet eltérni, 20-nál többel azonban már csak ritkán; ez azt jelenti, hogy míg a relatív gyakoriság 400 dobás esetében általában 7/100 és 13/100 között lesz, 1000 dobás esetében már legtöbbször 8/100 és 12/100 között lesz, 1000 dobás esetében már legtöbbször 8/100 és 12/100 között lesz, stb.
Míg tehát egy véletlen esemény valószínűsége egy meghatározott számérték (bár esetleg mi nem ismerjük pontosan az értékét), amely nem függ a véletlentől, ugyanezen véletlen esemény gyakorisága a véletlentől függő, bizonytalan érték, amelynek pontos értékét nem lehet előre látni, csak a megfigyelések elvégzése után lehet megállapítani. Utólag persze pontosan ismerjük a relatív gyakoriság értékét, de nem szabad elfeledkeznünk arról, hogy ez az érték más is lehetett volna, és ha megismételjük a kísérletet, számítanunk kell arra, hogy valóban más értéket kapunk. Ha a valószínűséget ismerjük – például szimmetria meggondolások alapján, esetleg az összeadási és szorzási vagy más szabályokat is felhasználva kiszámítottuk –, akkor előre láthatjuk több-kevesebb pontossággal, hogy a relatív gyakoriság mekkora lesz, míg ha a valószínűséget nem ismerjük, annak értékére a relatív gyakoriság megfigyelése útján következtethetünk több-kevesebb pontossággal. A kétféle következtetés azonban gyökeresen különböző jellegű.
Az első következtetés olyan jellegű, mint amikor ismerjük két fém fajsúlyát és ennek alapján előre látjuk, hogy a kétféle fémből készült egyenlő térfogatú testeket egy mérleg két serpenyőjébe téve, melyik oldalra fog billenni a mérleg, míg a második következtetés olyan jellegű, mint amikor egy ismeretlen fajsúlyú anyag fajsúlyát határozzuk meg olymódon, hogy ezen anyagból készült testek súlyát és térfogatát lemérve vizsgáljuk e két szám hányadosát. Megjegyzem, ha e hányadost több, az illető anyagból készült tárgyra nézve meghatározzuk, ezen értékek sem lesznek egymással pontosan egyenlőek, csak közel lesznek egymáshoz, hiszen semmilyen mérés sem tökéletesen pontos.
A valószínűség és a relatív gyakoriság tehát úgy viszonylik egymáshoz, mint a fajsúly valódi és mért értéke. A relatív gyakoriság megfigyelését úgy foghatjuk fel, mint a valószínűség megmérését olyan mérési eljárással, amely természeténél fogva nem teljesen pontos, de annál pontosabb, minél nagyobb számú megfigyelést végzünk.
Ezúton persze egy esemény valószínűségét tökéletesen pontosan sohasem állapíthatjuk meg. Montaigne egy helyütt azt írja,* hogy „a tényekből sohasem szerezhetünk teljes bizonyosságot, mert a tények sohasem egyformák”. Montaigne állítását azzal egészíthetjük ki, hogy a tényekből még a részleges bizonyosság fokát sem állapíthatjuk meg teljes pontossággal. A gyakorlatban tehát a részleges bizonyosság fokát illetően is meg kell elégednünk a részleges tudással. Egy kicsit olyan ez, mintha Ön az én levelemnek csak egy töredékét kapná kézhez, mert a többit a levél vivője útközben elvesztette, de még e levéltöredék is csak pontatlanul volna olvasható, mivel a levélvivő vízbeesett és így a levél elázott. Remélem, e levelem nem jut erre a sorsra, azonban nagyjából így áll a dolog a régmúlt korokról rendelkezésünkre álló adatokat illetően. Ennek ellenére a történelemtudomány egy és mást még a források hiányos és bizonytalan volta ellenére is meg tud állapítani, de az elmúlt időkről kialakított képünk
szükségképpen bizonyos mértékig csak hipotetikus jellegű lehet – habár ezt a történészek nem mindig ismerik be őszintén.
A mondottakat úgy is ki lehet fejezni, hogy egy esemény tényleges megvalósulásainak száma (közelítőleg) úgy aránylik az összes megvalósulási lehetőség számához, ahogy az esemény valószínűsége egyhez, tehát a teljes bizonyosság valószínűségéhez. Tulajdonképpen bámulatos ez a megegyezés a logika és a tények, lehetőség és a megvalósulás között! A kétfajta következtetést felváltva is alkalmazhatjuk: a gyakoriságok megfigyeléséből következtethetünk a valószínűségekre, és a valószínűségekről így nyert ismeretek alapján következtethetünk a jövőben végbemenő események gyakoriságára. Így segítheti elő a megfigyelés és a gondolkodás, egymást kiegészítve és támogatva, a világ megismerését! Nem ringatom magam azonban abban a tévhitben, hogy ezt én ismertem fel elsőnek; meggyőződésem, hogy ezt már Platón is tudta. Nemrégiben elővettem ugyanis a Timaiost és abban a következő meglepő mondatot találtam:* „ahogyan aránylik a keletkezéshez a lét, úgy viszonylik a hiedelemhez az
igazság”. Abban a meggyőződésemben, hogy e rejtélyesen hangzó kijelentéssel Platón ugyanazt a gondolatot kívánta kifejezni, mint amiről az
előbb szó volt, különösen megerősít, hogy közvetlenül e mondat előtt Timaios azokról a dolgokról beszél, amelyek nem bizonyosak, csak valószínűek. A régi görög filozófusok között, úgy tűnik, voltak egyesek – azt hiszem, Carneadész ezek közé tartozott –, akik még tudták, hogy Platón mire gondolt, de azóta e kissé homályos mondat valódi értelme feledésbe merült. Amikor a napokban a Timaiosban e mondatra rábukkantam, úgy éreztem magam, mint azok, akik a föld mélyéből egy gyönyörű torzót ástak ki, és miután azt megtisztították a reáragadt földtől, a márvány újból eredeti fényében ragyog. Gyertyámból már csak parányi csonk maradt; ebből is látszik, hogy kissé hosszasan válaszoltam második kérdésére. Harmadik kérdésére a válasz, úgy érzem, sokkal egyszerűbb, bár ez a kérdése is mintegy fáklyaként világítja be a téma egyes, eddig homályban hagyott részeit. Remélem azonban, hogy megbocsátja nekem, ha e kérdésre a választ későbbre hagyom, mert holnap kora reggel találkozom egy megbízható úriemberrel, aki holnap indul Orléans-ba, ahol – mint Carcavi úrtól hallom – Ön most tartózkodik, és aki vállalta, hogy e levelet elviszi Önnek,
Szeretném, ha levelemet mielőbb megkapná, és látná, hogy a kérdéseivel elvetett mag nemcsak, hogy kikelt, hanem ilyen rövid idő alatt már gyümölcsöt is hozott. Remélem, e gyümölcsöt – bár még nem tökéletesen érett – mégis élvezhetőnek fogja találni. Mivel azonban tartok attól, hogy e gyümölcs kissé fanyar, küldök egy kosár almát is, amely kertemben termett. Tudom, hogy ezek az almák sem különbek, mint azok, amelyek Toulouse-ban teremnek, de talán e szerény ajándék is hozzájárul ahhoz, hogy meggyőzzem Önt: nincs Önnek őszintébb híve és lelkesebb tisztelője, mint
Blaise Pascal
