.Paris, 1654. november 8.
hajnalban
Pierre Fermat úrnak
Orléans
Uram!
Az éjjel különös álmom volt, amelyből verejtékezve, szívdobogással ébredtem. Hogy eltereljem gondolataimat, elhatároztam, hogy megpróbálok válaszolni harmadik kérdésére, arra, hogy a valószínűségek szorzási szabálya milyen feltételek mellett érvényes.
Ön rámutatott arra, hogyha egy kártyacsomagból kétszer egymásután húzok egy-egy lapot, a szorzási szabály érvényes abban az esetben, ha az elsőnek kihúzott lapot a második húzás előtt visszatesszük a kártyacsomagba és azt újból jól megkeverjük, de nem érvényes, ha nem tesszük vissza. Például, ha a kártyacsomag 16 kártyából áll: a pikk, kör, treff és káró színek mindegyikéből az ászt, királyt, dámát és bubit tartalmazza, akkor annak a valószínűsége, hogy előszörre királyt húzzunk: 1/4, annak a valószínűsége hogy másodszorra királyt húzzunk: 1/4 – mégpedig akár visszatesszük az elsőnek kihúzott lapot, akár nem –, azonban, ha az először kihúzott lapot nem tesszük vissza, annak a valószínűsége, hogy mind a kétszer királyt húzzunk, valójában nem 1/4·1/4 = 1/16, hanem csak 1/20, hiszen két királyt 12-féle képpen húzhatunk, míg az összes lehetőségek száma 240. Valóban, úgy tűnik, mintha ez ellentmondana az első levelemben felállított szorzási szabálynak, azonban ez az ellentmondás csak látszólagos, ha közelebbről megvizsgáljuk a példát, kiderül, hogy a szorzási szabály itt is érvényes. Ha ugyanis előszörre királyt húzunk és azt nem tesszük vissza a második
húzás előtt a kártyacsomagba, akkor a második húzásnál már csak 15 lap között választhatunk, és ezek közt már csak 3 király van, tehát annak a valószínűsége, hogy másodszorra királyt húzzunk azon feltétel mellett, hogy először királyt húztunk, nem 1/4 , hanem csak 3/15 = 1/5, mivel 1/4·1/5 = 1/20, tehát a szorzási szabály itt is érvényes. Azon feltevés mellett, hogy előszörre nem királyt, hanem valami mást húztunk (és a kihúzott lapot nem tesszük vissza), annak a valószínűsége, hogy másodszorra királyt húzunk: 4/15, vagyis 1/4-nél nagyobb, így annak a valószínűségére, hogy előszörre nem királyt, másodszorra azonban királyt húzunk, a szorzási szabály helyes alkalmazásával 3/4· 4/15 = 1/5-nek adódik; mivel 1/20+1/5 = 1/4, tehát annak valószínűsége, hogy másodszorra királyt húzunk (tekintet nélkül az első húzás eredményére) ugyanúgy 1/4 akkor is, ha az először kihúzott lapot nem tesszük vissza, mint amikor visszatesszük. Ez azonban csak abban az esetben igaz, ha nem nézzük meg az először kihúzott lapot; ha ugyanis megnézzük és azt látjuk, hogy az előszörre kihúzott lap király, akkor e feltétel mellett csak 1/5 (vagyis 1/4-nél kisebb) a valószínűsége, hogy másodszorra királyt húzzunk, míg azon feltétel
mellett, hogy az először kihúzott
lap nem király, annak a valószínűsége, hogy másodszorra királyt húzzunk, 4/15 (vagyis 1/4-nél nagyobb). Azt kérdezheti erre Ön, hogyan függhet a valószínűség attól, hogy megnéztem-e az előszörre kihúzott lapot, vagy sem! A kártya nem tudhatja, hogy én megnéztem-e az első lapot! Más szóval, hogyan befolyásolhatja az én tudásom a húzás esélyét, hiszen ez utóbbi csak a kártyacsomag összetételétől függ. Valóban így van, de ha megnézem az előszörre kihúzott lapot, ezáltal éppen az derül ki, hogy a 16 lap közül melyik nincs a 15 között, és ennek a lapnak a tényleges hiánya befolyásolja a szóban forgó valószínűséget, mert ettől függ, hogy a megmaradt 15 lap között 4 vagy csak 3 király van-e. Tulajdonképpen félrevezető arról beszélni, hogy megnézzük a kihúzott lapot, hiszen nem számít, hogy én tudom-e, hogy melyik lap, csak az, hogy az valójában király-e vagy nem. Ha azonban semmit sem mondunk a kihúzott lapról, azon esemény valószínűségének kiszámításánál, hogy másodszorra királyt húzunk, figyelemben kell venni mind a két lehetőséget: azt, hogy előszörre királyt húztunk és azt is, hogy nem királyt húztunk, és e lehetőségek valószínűségeivel kell „súlyozni” az 1/5 és 4/15
feltételes
valószínűségeket; valóban: .
E példa jól mutatja, hogy ezen – csak látszólag egyszerű – kérdések vizsgálata nagy körültekintést igényel, mert szinte minden lépésnél buktatók várják az embert. Erről máskor majd részletesebben szeretnék írni Önnek. Visszatérve a szorzási szabály kérdésére, ennek szabatos és általános fogalmazása tehát úgy szól, hogy annak a valószínűségét, hogy mind az A, mind pedig a B esemény bekövetkezzék, úgy kapjuk meg, ha az A esemény valószínűségét megszorozzuk a B esemény valószínűségével, de utóbbi valószínűséget azon feltevés mellett kell kiszámítani, hogy az A esemény bekövetkezett; ez utóbbi valószínűséget nevezzük el a B esemény az A feltétel melletti feltételes valószínűségének.
Úgy tűnik, mintha itt új fogalmat vezettem volna be: a feltételes valószínűség fogalmát. Valójában ez nem teljesen új fogalom, hiszen minden esemény valószínűsége függ azoktól a feltételektől, amelyek mellett az esemény bekövetkezését, ill. be nem következését vizsgáljuk. Amikor azt mondjuk, hogy annak a valószínűsége, hogy egy kockát feldobva 6-ost dobunk: 1/6, hallgatólagosan feltesszük, hogy a kocka szabályos. Amikor azt mondjuk, hogy 1/4 annak a valószínűsége, hogy az említett kártyacsomagból királyt húzzunk, feltesszük, hogy a kártyacsomag 16 lapból áll, ezek között 4 király van, és a kártyák alaposan össze vannak keverve. Ha a feltételek megváltoznak, általában megváltozik a valószínűség is. Valójában tehát minden valószínűség feltételes, ha azonban a feltételek ismeretesek és nem változnak, nem szükséges ezeket mindig megemlíteni; ha azonban a feltételek megváltoznak, akkor ezt figyelembe kell venni. Úgy érzem, hogy a „feltételes valószínűség” kifejezés tulajdonképpen, pleonazmus; olyan, mintha „halandó ember”-ről beszélnénk, holott minden ember halandó. A félreértések elkerülése végett azonban mégis célszerű feltételes valószínűségekről beszélni olyankor, amikor a feltételek egyszer s mindenkorra adottak, hanem esetről-esetre változhatnak.
Előfordulhat, hogy egy B esemény valószínűsége azon feltétel mellett, hogy az A esemény bekövetkezett, ugyanakkora, mint e feltétel nélkül. Ha ez a helyzet, indokoltnak látszik az A és B eseményeket független-nek nevezni, hiszen ez esetben a B esemény bekövetkezésének valószínűsége nem függ attól, hogy az A esemény bekövetkezett-e, vagy nem, illetve attól sem, hogy ezt egyáltalán figyelembe vesszük-e. Ha az A és B események függetlenek, akkor tehát a szorzási szabály a feltételes valószínűség fogalmának felhasználása nélkül is kimondható. Ilyen esetekben minden további megjegyzés nélkül állíthatjuk, hogy annak valószínűség, hogy mind az A, mind pedig a B esemény bekövetkezzék, egyenlő ezen események valószínűségeinek szorzatával. Ez a helyzet például, ha az A és B események két különböző kockával való dobásokra vonatkoznak. Ez esetben az A és B események függetlenségének az az oka, hogy a két kocka egymásra semmilyen befolyást nem gyakorolhat. Ha a két kocka egy fonállal össze volna kötve, akkor a két dobás eredménye volna független. Két esemény azonban nemcsak akkor lehet független, ha nem is tudjuk elképzelni, hogyan befolyásolhatná az egyik esemény bekövetkezése a másiknak az esélyeit. Jelentse például A azt az eseményt, hogy az említett kártyacsomagból egy lapot húzva, az a lap treff színű, B pedig azt az eseményt, hogy a kihúzott lap király. Ez esetben a két esemény ugyanarra a húzásra vonatkozik, mégis függetlenek, hiszen a 16 lap közt 4 király van, a 4 treff színű lap közt egy király, a többi 12 lap között pedig 3 király, tehát a B esemény valószínűsége akkor is 1/4, ha az A esemény bekövetkezett, akkor is ha nem következett be, és akkor is, ha az A eseményt egyáltalán nem is vesszük tekintetbe.
*
November 8. este
Most, hogy újból átolvastam, amit hajnalban írtam, látom, hogy válaszom újabb kérdéseket vet fel. Elgondolkoztam ugyanis azon, mit is jelent tulajdonképpen az, hogy egy kártyacsomag „jól meg van keverve”? Ha megkérdeznék egy gyakorlott kártyást – például de Méré lovagot –, nyilván azt válaszolná, hogy ez azt jelenti, hogy valaki elég sokáig keverte anélkül, hogy csalni próbált volna, tehát a gyakorlott kártyások szokásos mozdulatait szabályosan alkalmazva, a kártyák sorrendjének kialakulását teljesen a véletlenre bízta és nem is próbálta azt befolyásolni. Erre én azt kérdezném, hogy ha nem tudom, hogy ki keverte meg a lapot, megnézve a lapok sorrendjét, vagy kiosztva a lapokat a játékosoknak és megnézve, ki milyen lapot kapott, meg lehet-e állapítani, hogy a kártyát jól megkeverték-e vagy sem? Első pillanatra nem is látszik, hogy ez milyen fogas kérdés; valóban, kíváncsi vagyok, mit válaszolna erre a lovag. Ha ugyanis azt válaszolja, hogy igen, akkor megkérdezhetem, hogy alapos keverésnél mi a valószínűsége annak, hogy 16 lap közül, pl. éppen a kör dáma, vagy bármelyik másik lap kerüljön legfelülre; erre nyilván azt kell válaszolnia, hogy alapos keverésnél minden lap ugyanakkora, tehát 1/16 valószínűséggel kerülhet legfelülre. Ha a kör dáma van legfelül, mi a valószínűsége – kérdezném tovább –, hogy második helyre a pikk ász (vagy bármelyik másik lap a megmaradó 15 közül) kerüljön? Nyilván 1/15, válaszolná erre a lovag. Folytatva e meggondolást, arra az eredményre jutunk, hogy alapos keverésnél a 16 lap minden elképzelhető sorrendjének valószínűsége ugyanakkora. De akkor hogyan lehet a sorrend alapján eldönteni, hogy a csomag alaposan össze van-e keverve, hiszen bármilyen sorrendet találok is, az ugyanolyan valószínű, mint a többi elképzelhető sorrend? Ha viszont nem lehet eldönteni magából a lapból, hogy alaposan összekeverték-e, akkor van-e egyáltalán ennek a kijelentésnek bármilyen szabatos értelme? Azt mondhatná erre a lovag, hogy persze egyetlen egy keverés eredményéből még nem lehet megállapítani, hogy a keverő csalt-e, de ha jóval többször oszt önmagának jó lapot, mint az várható volna alapos keverés esetén, akkor biztosak lehetünk benne, hogy csalóval van dolgunk. Erre azonban én megkérdezném, hogy úgy gondolja-e, hogy ha valaki alaposan megkeveri a kártyát, akkor minden lehetséges sorrend körülbelül ugyanolyan gyakran fordul elő? Ha már most a gyanútlan lovag igennel válaszol, akkor megint csapdába esett, hiszen 16 lap lehetséges sorrendjeinek száma egyenlő az első 16 szám szorzatával, és e szám oly nagy, hogy ha egy kártyázó társaság éjjel–nappal megszakítás nélkül játszva percenként újra keveri is a lapokat, kereken 39 millió évig kellene játszaniok ahhoz, hogy minden sorrend előfordulhasson. Gyakorlatilag tehát ily módon a keverés megfelelő voltát nem lehet ellenőrizni. Nemrégiben kigondoltam egy egészen egyszerű gépet, amelynél a kártyák ferde lejtőn lecsúszva dobozba hullanának, majd egy óramű a dobozt felemelné és a kártyákat egy másik lejtőre csúsztatná és így tovább. E géppel talán percenként 10 keverést is el lehetne végezni, de még e gépnek is közel 4 millió évig kellene működnie, hogy az összes sorrendet előállítsa.
Amikor azonban kiszámítottam, hogy hányféle sorrendben lehet egy 52 lapból álló kártyát elrendezni, szinte beleszédültem.
Félretéve a keverés alapossága ellenőrzésének nehéz kérdését, tegyük fel, hogy rendelkezésünkre áll egy teljesen megbízható keverőgép (vagy egy gyakorlott és becsületes kártyás), amely (ill. aki) az összes lehetséges sorrendet egyenlő valószínűséggel hozza létre. A gép (ill. a kártyás) megkever egy 16 lapos kártyát és így létrejön egy sorrend – egy a több mint húszezer-milliárd közül. Gondolja csak meg, mit jelent ez tulajdonképpen: azt, hogy a szemünk előtt következik be egy olyan esemény, amelynek a valószínűsége kisebb, mint egy osztva húszezer-milliárddal. Amíg ezt végig nem gondoltam, úgy véltem, hogy egy igen kicsiny – pl. egy-milliomod – valószínűségű esemény bekövetkezését gyakorlatilag kizártnak lehet tekintetni. A kártyakeverés példája mutatja, hogy ezt a kijelentést óvatosabban kell megfogalmazni. Így hát fel kell tennünk a kérdést: milyen értelemben igaz mégis, hogy igen csekély valószínűségű események bekövetkezését szinte kizártnak, egyhez igen közeli valószínűségi események bekövetkezését gyakorlatilag biztosnak tekinthetjük? A kérdés, úgy hiszem, nem is olyan nehéz, mint amilyennek első pillanatra látszik. Hiszen ha előre leírok egy lehetséges sorrendet, és ez után keverem meg a kártyát, valóban szinte kizárt dolog, hogy éppen ez a sorrend legyen a keverés eredménye – habár ez a sorrend sem valószínűtlenebb, mint az a másik, amely tényelegesen létre fog jönni a keverésnél.
Amikor a valószínűségekről gondolkodni kezdtem, minden olyan egyszerűnek és világosnak tűnt előttem; most kezdtem csak látni, hogy tévedtem. Valahányszor azt hiszem, hogy megragadtam az igazságot, az újra szertefoszlik kezemben. Szinte minden lépésnél újabb szakadékok leselkednek az emberre! Lehet, hogy álmom, mely az éjjel úgy felzaklatott, szintén ezt tükrözik. Azt álmodtam ugyanis, hogy egy barlangban vagyok és a sötétben tapogatódzva keresem a kiutat. Arrafelé igyekeztem, ahonnan úgy láttam, mintha fény szűrődnék be. Egy nagy szikla állta el utamat, de azt hosszas kísérletezés után megkerülve egy nyílást pillantottam meg, amely szemmel láthatóan kivezetett a barlangból; a nyíláson túl már a napfény ragyogott. Fölegyenesedtem és a nyílás felé indultam, de csak egyet léphettem, amikor úgy éreztem, mintha valaki vállon ragadott és visszalökött volna. Valószínűleg kiálló kődarabba ütköztem a vállammal – gondoltam magamban –, hiszen tudtam, hogy a barlangban rajtam kívül senki sincs. Felálltam és újból a kijárat felé akartam indulni, de most már óvatosabb voltam, a falba kapaszkodtam és a lábam elé is néztem, de hirtelen visszahőköltem: lábam előtt valami sötét lyuk tátongott. Ha nem lök vissza az előbb valami (vagy valaki?), menthetetlenül belezuhantam volna. Először nem is fogtam fel igazán, mitől menekültem meg; kíváncsiságból a lyukba dobtam egy követ, és egyenletesen számolni kezdtem, hogy abból, mennyi idő múlva hallom a kő koppanását, megállapítsam, milyen mély a lyuk. Amikor már 5-nél tartottam a számolással és még mindig nem hallottam a kő koppanását, akkor fogtam csak fel a helyzetet; már reszketve számoltam tovább 10-ig, 20-ig, de koppanást nem hallottam egyáltalán. Hiába számoltam tovább fogvacogva – amíg fel nem ébredtem.
Azt hiszem, megérti, hogy ezután nem is próbáltam újból elaludni, és hogy megszabaduljak az álom nyomasztó emlékétől, a hajnali szürkületben neki kezdtem ennek a levélnek.
Most már képes vagyok nyugodtan visszagondolni álmomra, de még mindig nem tudom, hogyan vélekedjek róla. Vajon pusztán a valószínűség kezem közül minduntalan kisikló és titokzatos fogalmával való birkózásom öltött látomásszerű képet álmomban (mint ahogy Lucretius írja: „És mi miatt elménket jobban megfeszítettük, álmunkban szintén az jő legtöbbször előnkbe”), vagy* mást jelent ez az álom? Mi az a veszély, amely reám leselkedik és kié az a titokzatos kéz, amely visszatartott a pusztulástól? Egyáltalán honnan jönnek álmaink és kell-e nekik bármilyen jelentőséget tulajdonítanunk? Józan eszem azt mondja, hogy álomban pihenő agyam keveri öntudatlanul a képeket, mint a kártyás a lapokat – így e képek bármely sorrendje létrejöhet véletlenszerűen és ebben ugyanúgy nem érdemes semmiféle okot vagy titkos jelet keresni, mint a kockadobás eredményében. A véletlen fogalmát évszázadokon át babonás hit övezte, és azt hiszem, ez tartotta vissza az embereket attól, hogy a véletlen jelenségeket megpróbálják tudományos vizsgálat tárgyává tenni. A véletlent illetően úgy hiszem, sikerült magamat kivonni a babonás borzongás bénító béklyója alól; ami azonban álmomat illeti, nem tudok teljesen szabadulni attól a – semmilyen logikus érvvel alá nem támasztható – érzéstől, hogy ez az álom mégis csak jelent valamit.
Bocsásson meg, hogy most már álmaim leírásával is terhelem. Kissé szégyellem is magamat ezért, mégis jólesett álmomon való töprengéseimet is őszintén feltárni Ön előtt. Bízom benne, hogy aki olyan jól megérti gondolataimat, mint Ön, meg fogja érteni – ha fejcsóválva is – mostani felzaklatott lelkiállapotomat. Míg talán mást, akivel nem fűz össze ilyen szoros lelki rokonság, ez elriasztana, azt remélem, hogy Ön őszinteségemet barátságunk zálogaként fogja fogadni, és azt olvassa ki e levélből is, hogy az Ön legőszintébb barátja és tisztelője
Blaise Pascal
